На числовой прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По расположению числа на числовой прямой имеем $0<m<1$.
- 2
Так как $0<m<1$, то $m^2$ находится между $0$ и $1$. Это точка $B$, значит $B\to2$.$$0<m^2<1$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя числами и отрезками, которым они принадлежат.
- 1
Оценим логарифм: $2^4=16<20<32=2^5$, поэтому $4<\log_2 20<5$.$$\log_2 20\in[4;5]$$
- 2
Дробь $\dfrac{4}{3}$ больше 1 и меньше 2.$$1<\dfrac{4}{3}<2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки — $1$ и $4$. Множитель $(x-1)^2$ не меняет знак в точке $1$, а множитель $(x-4)$ отрицателен при $x<4$. Точка $x=1$ не входит в решение, так как обращает выражение в ноль.
- 2
Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $x=1$ и $x=4$ исключаются.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $5>1$, функция $y=\log_5 x$ возрастает на области определения $x>0$.$$a>1 \Rightarrow \log_a x \text{ возрастает}$$
- 2
Для неравенства А сравниваем $x$ с $5^1$.$$\log_5 x>1 \Rightarrow x>5^1=5$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки — $x=3$ и $x=5$. Так как $(x-3)^2>0$ при $x\ne3$, знак дроби определяется числителем $x-5$. Поэтому $x<5$, но $x\ne3$.$$x\in(-\infty;3)\cup(3;5)$$
- 2
В неравенстве Б представим правую часть как степень числа 5. Основание $5>1$, поэтому сравниваем показатели.$$5^{-x+1}<5^{-2}\Rightarrow -x+1<-2\Rightarrow x>3$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А нули множителей равны $3$ и $6$. Произведение отрицательно между корнями.
- 2
В неравенстве Б знаменатель должен быть положительным или отрицательным вместе с квадратом числителя. При $x>3$ дробь положительна, кроме точки $x=6$, где числитель равен нулю.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
А) Знаменатель $(x-3)^2$ положителен при $x\ne3$, поэтому дробь отрицательна, когда $x-5<0$. С учётом ограничения $x\ne3$ получаем.$$x<5,\quad x\ne3\quad\Rightarrow\quad x\in(-\infty;3)\cup(3;5)$$
- 2
Б) Представим правую часть как степень пятёрки. Так как основание $5>1$, сравниваем показатели.$$5^{-x+1}<5^{-2}\quad\Rightarrow\quad -x+1<-2\quad\Rightarrow\quad x>3$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Область определения: $x>1$. Так как основание логарифма $2>1$, функция возрастает:$$\log_2(x-1)<1 \Longleftrightarrow x-1<2 \Longleftrightarrow x<3$$
- 2
С учётом области определения получаем Шешім неравенства А:$$1<x<3$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А разложим трёхчлен на множители: корни равны $-4$ и $10$. Так как коэффициент перед $x^2$ положительный, выражение не положительно между корнями.$$x^2 - 6x - 40 = (x + 4)(x - 10),\quad x \in [-4; 10]$$
- 2
Для неравенства Б корни равны $5$ и $8$. Выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2 - 13x + 40 = (x - 5)(x - 8),\quad x \in (-\infty; 5] \cup [8; +\infty)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А учитываем, что $(x-3)^2\geq 0$, а $x=2$ исключается из области определения. Дробь положительна при $x>2$, кроме точки $x=3$.$$x\in(2;3)\cup(3;+\infty)$$
- 2
Для неравенства Б произведение отрицательно между корнями $2$ и $3$.$$x\in(2;3)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из предложенных чисел. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По координатной прямой определяем значение отмеченного числа:$$m=-1{,}5$$
- 2
Вычисляем первое выражение:$$3-m=3-(-1{,}5)=4{,}5$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А точки $1$ и $6$ являются критическими. Так как множитель $(x-1)^2$ неотрицателен, произведение отрицательно при $x<6$, но точка $x=1$ исключается.$$x\in(-\infty;1)\cup(1;6)$$
- 2
Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $1$ и $6$ не входят в решение.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел, указанных в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По координатной прямой видно, что число $m$ расположено между $1$ и $2$: $1<m<2$.$$1<m<2$$
- 2
Вычтем единицу из всех частей неравенства. Число $m-1$ находится между $0$ и $1$, поэтому ему соответствует точка $A$.$$0<m-1<1$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
А) Квадрат $(x-1)^2$ неотрицателен и не равен нулю при $x\ne1$. Произведение отрицательно при $x<4$, поэтому исключаем $x=1$:$$x\in(-\infty;1)\cup(1;4)$$
- 2
Б) Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки:$$\frac{x-1}{x-4}>0\Longrightarrow x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма больше единицы, функция $\log_2 x$ возрастает. Область определения всех неравенств: $x>0$.$$2>1$$
- 2
Для неравенства А применяем возведение в степень с основанием $2$:$$\log_2 x\ge 1\Longleftrightarrow x\ge 2^1=2$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Представим $0{,}5$ как $2^{-1}$. Так как основание $2>1$, сравниваем показатели:$$2^{-x+1}<2^{-1}\Rightarrow -x+1<-1\Rightarrow x>2$$
- 2
Следовательно, решением неравенства А является промежуток $(2; +\infty)$, то есть нұсқа 3.
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А найдём корни: $x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)$. Так как коэффициент перед $x^2$ положительный, при знаке «больше или равно» берём внешние промежутки.$$x \le 4 \text{ или } x \ge 5$$
- 2
Для неравенства Б: $x^2 - 8x - 20 = (x + 2)(x - 10)$. При знаке «меньше или равно» берём промежуток между корнями.$$-2 \le x \le 10$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А представим числа как степени двойки: $0{,}5^x = 2^{-x}$ и $4 = 2^2$. Так как функция $2^t$ возрастает, получаем $-x \ge 2$, то есть $x \le -2$. Это решение 3.$$0{,}5^x \ge 4 \Longleftrightarrow 2^{-x} \ge 2^2 \Longleftrightarrow x \le -2$$
- 2
Для неравенства Б: $2^x \ge 2^2$, поэтому $x \ge 2$. Это Шешім 4.$$2^x \ge 4 \Longleftrightarrow 2^x \ge 2^2 \Longleftrightarrow x \ge 2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На координатной прямой отмечено число $m = \dfrac{1}{2}$. Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.
- 1
По рисунку $m=\dfrac{1}{2}$.
- 2
Вычислим первое выражение:$$m-1=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}\in[-1;0]$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Неравенство А: основание $3>1$, поэтому функция возрастает.$$3^x\ge3^1 \Longrightarrow x\ge1$$
- 2
Неравенство Б: перепишем $3$ как $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$. Основание меньше единицы, поэтому знак меняется.$$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x\ge\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} \Longrightarrow x\le-1$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде