101ФИПИ 529CC7№ 18Повышенная На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По положению числа $m$ на координатной прямой вычисляем значения выражений и сопоставляем их с координатами точек.$$m-2<\sqrt{m}-1<m^2<\dfrac{4}{m}$$
- 2
Самое левое значение соответствует точке $A$: это выражение $m-2$.$$A\rightarrow 3$$
Ещё 3 шага — в полном решении
102ФИПИ 553918№ 18Повышенная Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
- 1
Оценим первое число: $\sqrt{7}+\sqrt{3}\approx2{,}65+1{,}73=4{,}38$. Оно принадлежит отрезку $[4;5]$.$$\sqrt{7}+\sqrt{3}\approx4{,}38\in[4;5]$$
- 2
Преобразуем второе число: $\sqrt{7}\cdot2\sqrt{3}=2\sqrt{21}\approx9{,}17$. Оно принадлежит отрезку $[9;10]$.$$\sqrt{7}\cdot2\sqrt{3}=2\sqrt{21}\approx9{,}17\in[9;10]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
103ФИПИ 557D03№ 18Повышенная На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Число $m$ равно $\sqrt{0{,}15}$. Каждой из четырёх точек соответствует число, которое является её координатой.
- 1
Вычислим приближённое значение числа $m$:$$m=\sqrt{0{,}15}\approx0{,}387$$
- 2
Найдём значения выражений из правого столбца:$$-\frac{1}{m}\approx-2{,}58,\quad m^2=0{,}15,\quad 4m\approx1{,}55,\quad m-1\approx-0{,}61$$
Ещё 2 шага — в полном решении
104ФИПИ 57F314№ 18Повышенная Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Решим первое неравенство. Так как основание логарифма больше единицы, функция возрастает:$$\log_2 x>0=\log_2 1\Rightarrow x>1$$
- 2
Во втором неравенстве представим правую часть как степень двойки и сравним показатели:$$2^{-x}>2^1\Rightarrow -x>1\Rightarrow x<-1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
105ФИПИ 58B5F8№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Так как основание логарифма $3>1$, функция возрастает: $\log_3(x-3)<1$ равносильно $0<x-3<3$. Поэтому $3<x<6$.$$А: \quad x\in(3;6)$$
- 2
Решим неравенство Б. Представим $0{,}2$ как $5^{-1}$. Поскольку основание $5>1$, получаем $-x+2<-1$, откуда $x>3$? Исправим: $5^{-x+2}>5^{-1}$ равносильно $-x+2>-1$, поэтому $x<3$.$$Б: \quad -x+2>-1 \quad\Longrightarrow\quad x<3$$
Ещё 3 шага — в полном решении
106ФИПИ 58DA4C№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Основание логарифма находится между 0 и 1, поэтому функция $y=\log_{\frac{1}{3}}x$ убывает. Область допустимых значений: $x>0$.$$0<\frac{1}{3}<1$$
- 2
Для неравенства А получаем $x\le\left(\frac{1}{3}\right)^1$, с учётом области определения: $x\in\left(0;\frac{1}{3}\right]$. Это решение 4.$$\log_{\frac{1}{3}}x\ge1\Longleftrightarrow 0<x\le\frac{1}{3}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
107ФИПИ 59BB7D№ 18Высокая Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А отмечаем корни $x=3$ и $x=6$. Произведение отрицательно между корнями.
- 2
В неравенстве Б квадрат $(x-6)^2$ положителен при $x\ne6$, а знаменатель $x-3$ должен быть положительным. Точки $x=3$ и $x=6$ исключаются.
Ещё 2 шага — в полном решении
108ФИПИ 5A6F3F№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Область определения: $x-1>0$, то есть $x>1$. Так как основание логарифма $2>1$, знак неравенства сохраняется:$$\log_2(x-1)<1\Longleftrightarrow x-1<2\Longleftrightarrow x<3$$
- 2
С учётом области определения получаем решение неравенства А:$$x\in(1;3)$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
109ФИПИ 5BA662№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
В неравенстве А представим $0{,}5^x$ как $2^{-x}$. Так как функция $2^t$ возрастает, получаем $-x\ge 1$, то есть $x\le -1$. Это решение 1.$$0{,}5^x\ge2\iff2^{-x}\ge2^1\iff -x\ge1\iff x\le-1$$
- 2
В неравенстве Б функция $2^x$ возрастает, поэтому $2^x\ge2^0$ равносильно $x\ge0$. Это решение 4.$$2^x\ge1=2^0\iff x\ge0$$
Ещё 2 шага — в полном решении
110ФИПИ 5CF896№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:$$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$$
- 2
Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение неотрицательно вне корней:$$x \in (-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$$
Ещё 3 шага — в полном решении
111ФИПИ 5F61AF№ 18Повышенная На прямой отмечены числа $m$ и $n$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит.
- 1
По расположению чисел $m$ и $n$ на числовой прямой оцениваем значение произведения $mn$.$$mn\in[2;3]$$
- 2
Складываем числа $m$ и $n$ и определяем соответствующий отрезок.$$m+n\in[3;4]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
112ФИПИ 6022B4№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А $(x-1)^2(x-5)<0$ множитель $(x-1)^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=1$. Произведение отрицательно при $x<1$ и при $1<x<5.
- 2
Для неравенства Б произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $1$ и $5$.
Ещё 2 шага — в полном решении
113ФИПИ 621606№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки — $1$ и $2$. Произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями.
- 2
Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $1$ и $2$ не входят в решение.
Ещё 2 шага — в полном решении
114ФИПИ 624A1A№ 18Повышенная Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
А) Критические точки: $x=2$ и $x=6$. Дробь положительна на внешних промежутках, поэтому решение — $(-\infty;2)\cup(6;+\infty)$.$$\dfrac{x-2}{x-6}>0\ \Longrightarrow\ x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty)$$
- 2
Б) Множитель $(x-2)^2$ неотрицателен и не меняет знак при переходе через $x=2$. Произведение отрицательно при $x<2$ и при $2<x<6$; точки $2$ и $6$ не входят.$$(x-2)^2(x-6)<0\ \Longrightarrow\ x\in(-\infty;2)\cup(2;6)$$
Ещё 3 шага — в полном решении
115ФИПИ 632C18№ 18Повышенная Установите соответствие между четырьмя логарифмическими неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $5>1$, функция $\log_5 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к аргументу.$$x>5^a \text{ при } \log_5 x>a;\quad x<5^a \text{ при } \log_5 x<a$$
- 2
Для неравенства А вычисляем $5^1=5$.$$\log_5 x>1\Longleftrightarrow x>5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
116ФИПИ 633BCB№ 18Повышенная На координатной прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого…
- 1
По координатной прямой определяем значение отмеченного числа:$$m=\dfrac{4}{3}$$
- 2
Вычисляем первое выражение:$$-\dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{4/3}=-\dfrac{3}{4}\in[-1;0]$$
Ещё 3 шага — в полном решении
117ФИПИ 635770№ 18Повышенная На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из данных чисел. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По положению числа $m$ на координатной прямой определяем, что $m=\sqrt{2}$, поэтому $m^2=2$.$$m^2=2$$
- 2
Вычисляем значение выражения $m-1$: оно положительно и меньше $1$, поэтому соответствует точке $B$.$$m-1=\sqrt{2}-1\approx 0{,}41$$
Ещё 2 шага — в полном решении
118ФИПИ 63CB5B№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Разложим левую часть первого неравенства на множители:$$x^2 - 10x - 24 = (x + 2)(x - 12)$$
- 2
Так как коэффициент при $x^2$ положительный, выражение неотрицательно вне корней и неположительно между ними. Для неравенства А получаем:$$x \in [-2; 12]$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
119ФИПИ 64747A№ 18Повышенная Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.
- 1
Так как $4^0=1$, $4^{-1}=0{,}25$, а $0{,}25<0{,}6<1$, получаем:
- 2
Оцениваем дробь:
Ещё 2 шага — в полном решении
120ФИПИ 667216№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А учитываем, что $(x-2)^2\geqslant0$. Произведение отрицательно при $x<4$, кроме точки $x=2$, где выражение равно нулю.$$x\in(-\infty;2)\cup(2;4)$$
- 2
В неравенстве Б числитель положителен при $x\neq4$, а знаменатель положителен при $x>2$. Точка $x=4$ исключается, так как числитель обращается в ноль.$$x\in(2;4)\cup(4;+\infty)$$
Ещё 2 шага — в полном решении