В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…
- 1
Разложим произведение на множители:$$2330 = 2 \cdot 5 \cdot 233$$
- 2
Числа, получившиеся после расстановки знаков умножения, составлены из пяти отметок, каждая из которых является цифрой от 2 до 5. Поэтому множители соответствуют отметкам $2$, $5$ и числу $233$, составленному из трёх отметок.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого больше 0, но меньше 12. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число 1116 является чётным, поэтому делится на 2.$$1116 \mathbin{:} 2 = 558$$
- 2
Проверим делимость на 9: сумма цифр числа равна 9, следовательно, число делится на 9.$$1+1+1+6=9$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Вычеркните в числе 14563743 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
- 1
После вычёркивания трёх цифр должно остаться пятизначное число, составленное из цифр исходного числа в том же порядке.
- 2
Оставим цифры 1, 4, 5, 6 и 4. Для этого вычеркнем цифры 3, 7 и последнюю 3.$$14563743 \rightarrow 14564$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$.
- 1
Число $70$ представлено как произведение различных простых чисел: $70=2\cdot5\cdot7$.$$70=2\cdot5\cdot7$$
- 2
По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(5+1)(7+1)=3\cdot6\cdot8$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Вычеркните в числе 65031029 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.
- 1
Число, делящееся на 15, должно делиться на 3 и на 5.
- 2
Оставим в исходном числе цифры 6, 5, 0, 1, 0, вычеркнув цифры 3, 2 и 9. Получим число 65010.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На шести карточках написаны цифры: 2; 5; 7; 8; 9; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ + □□ + □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что…
- 1
Разместим карточки так, чтобы получить сумму, оканчивающуюся на 0:$$789 + 52 + 9 = 850$$
- 2
Все цифры из набора использованы ровно по одному разу: 2, 5, 7, 8, 9, 9. Число 850 делится на 10.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите пятизначное натуральное число, кратное 15, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число, кратное 15, должно одновременно делиться на 3 и на 5. Поэтому его последняя цифра может быть 0 или 5.
- 2
Рассмотрим число $42420$. Разности соседних цифр по модулю равны 2:$$|4-2|=|2-4|=|4-2|=|2-0|=2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число должно делиться на $24 = 3 \cdot 8$.
- 2
Рассмотрим число $222000$. Сумма его цифр равна $2+2+2=6$, поэтому оно делится на $3$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите трёхзначное натуральное число, меньшее 500, которое при делении и на 5, и на 6 даёт равные ненулевые остатки и последняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других…
- 1
Проверим число $153$: его цифры — $1$, $5$ и $3$. Последняя цифра является средним арифметическим двух первых:$$3 = \dfrac{1+5}{2}$$
- 2
Найдём остаток при делении числа на $5$. Последняя цифра числа равна $3$, поэтому остаток равен $3$.$$153 \equiv 3 \pmod{5}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите натуральное число, большее 3850, но меньшее 4150, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю.
- 1
Рассмотрим число $3924$, которое находится в требуемом диапазоне: $3850 < 3924 < 4150$.$$3850 < 3924 < 4150$$
- 2
Все цифры числа различны и не равны нулю: $3$, $9$, $2$, $4$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 1640, но меньшее 1930, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое…
- 1
Искомое число находится в диапазоне от $1641$ до $1929$. Проверяем числа с различными ненулевыми цифрами.
- 2
Число $1764$ удовлетворяет условию: его цифры $1$, $7$, $6$ и $4$ различны и не равны нулю.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 120. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Разложим делитель на множители:$$120 = 8 \cdot 15 = 8 \cdot 3 \cdot 5$$
- 2
Возьмём шестизначное число, состоящее только из цифр $2$ и $0$ и оканчивающееся тремя нулями: $222000$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 2000, но меньшее 3000, которое делится на 60 и сумма цифр которого равна 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Ищем число между 2000 и 3000, поэтому его первая цифра равна 2. Число, делящееся на 60, должно оканчиваться на 0.
- 2
Для числа $2820$ сумма цифр равна $2 + 8 + 2 + 0 = 12$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите трёхзначное натуральное число, большее 800, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Рассмотрим число $816$. Его цифры различны и не равны нулю.
- 2
Проверим делимость числа на каждую цифру:$$816 : 8 = 102,\quad 816 : 1 = 816,\quad 816 : 6 = 136$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 1, 4, 6, 9, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 2, 3, 8, 9. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$, большее 1500.
- 1
Так как $A > 1500$, его первая цифра может быть только 1, 4 или 6. Проверяем перестановки цифр 1, 4, 6, 9 и умножаем их на 2.
- 2
Подходит число $A = 4196$: при умножении получаем число, составленное из цифр 2, 3, 8, 9.$$4196 \cdot 2 = 8392$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 1458. В ответе укажите какое-нибудь одно…
- 1
Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. Так как оно кратно 5, а обращённое число должно быть четырёхзначным, последняя цифра исходного числа равна $d=5$.
- 2
Исходное число равно $1000a+100b+10c+5$, а число, записанное в обратном порядке, равно $5000+100c+10b+a$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Найдите трёхзначное число $A$, обладающее двумя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 11; сумма цифр числа $A+7$ делится на 11. Запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Возьмём трёхзначное число $A=499$. Сумма его цифр равна:$$4+9+9=22$$
- 2
Число 22 делится на 11.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Вычеркните в числе 86957205 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 60. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
- 1
После вычёркивания трёх цифр в числе должны остаться пять цифр в исходном порядке. Оставим цифры 8, 6, 5, 2, 0, вычеркнув 9, 7 и последнюю 5.$$86957205 \to 86520$$
- 2
Проверим делимость получившегося числа на 60. Число 86520 оканчивается на 20, поэтому делится на 20. Сумма его цифр равна 8+6+5+2+0=21, поэтому оно делится на 3.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 352, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…
- 1
Из перестановок цифр числа 352 номер страницы после выпавших листов должен быть больше 352. Подходит число 523.$$523 > 352$$
- 2
Определим количество выпавших бет, исключив бет 352 и 523:$$523 - 352 - 1 = 170$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное натуральное число, меньшее 1360, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю.
- 1
Рассмотрим число 1236. Его цифры 1, 2, 3 и 6 различны и не равны нулю.
- 2
Проверим делимость числа на каждую свою цифру:$$1236 : 1 = 1236,\quad 1236 : 2 = 618,\quad 1236 : 3 = 412,\quad 1236 : 6 = 206$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде