Задание 19 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Сумма делителей произведения простых чисел

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $170$ представлено произведением различных простых чисел $2$, $5$ и $17$.$$170=2\cdot5\cdot17$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(5+1)(17+1)=3\cdot6\cdot18=324$$

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось пять, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Представим 945 в виде произведения чисел, составленных из пяти отметок от 2 до 5. Подходит разложение:$$945 = 35 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$$
2. 2
   Значит, последовательность отметок Пети: 3, 5, 3, 3, 3.

Ещё 2 шага — в полном решении

Наибольшее одинаковое число

Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.

1. 1
   Трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $111a$, где $a$ — цифра от $1$ до $9$.$$111a$$
2. 2
   Разложим делитель и число на множители:$$74 = 2 \cdot 37, \qquad 111 = 3 \cdot 37$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число с заданными свойствами

Найдите четырёхзначное число, большее 1500, но меньшее 2000, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Искомое число лежит в диапазоне от 1501 до 1999 и имеет вид $1abc$. Сумма его цифр должна быть равна 24.
2. 2
   Число 1968 подходит по сумме цифр:$$1+9+6+8=24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Трёхзначное число с остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 9 даёт в остатке 1 и все цифры в записи которого нечётные. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как при делении на $4$ и на $9$ число даёт остаток $1$, оно должно иметь вид $36k+1$, поскольку $4$ и $9$ взаимно просты.$$n \equiv 1 \pmod{36}$$
2. 2
   Возьмём трёхзначное число $397$. Все его цифры нечётные: $3$, $9$ и $7$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшее число без девятки

Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 7.

1. 1
   Наибольшее трёхзначное число без цифры 9 — 888. Проверяем числа, начиная с него, в порядке убывания.
2. 2
   Число 882 делится на 7 без остатка:$$882 = 7 \cdot 126$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 2457. В ответе запишите какое-нибудь…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. Так как оно кратно 5, его последняя цифра равна $0$ или $5$. После разворота число должно остаться четырёхзначным, поэтому $d=5$.$$N=1000a+100b+10c+5$$
2. 2
   Число, полученное разворотом цифр, равно $\overline{5cba}$. По условию их разность равна 2457.$$(1000a+100b+10c+5)-(5000+100c+10b+a)=2457$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Число с заданными свойствами

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр.

1. 1
   Пусть искомое число имеет вид $100a+10b+c$, где $a$, $b$, $c$ — его цифры. По условию средняя цифра является средним арифметическим крайних:$$b=\dfrac{a+c}{2},\quad 2b=a+c$$
2. 2
   Остатки при делении на $8$ и на $5$ равны. Общий ненулевой остаток может быть только одним из чисел $1$, $2$, $3$, $4$. Проверим число $963$, которое удовлетворяет условию на цифры:$$6=\dfrac{9+3}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число с заданными свойствами

Найдите натуральное число, большее 1000, но меньшее 1300, которое делится на 18 и сумма цифр которого равна 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Ищем число в диапазоне от 1000 до 1300 с суммой цифр 18. Число 1098 подходит: сумма его цифр равна$$1+0+9+8=18$$
2. 2
   Число 1098 делится на 18, поскольку оно делится на 2 и на 9: последняя цифра чётная, а сумма цифр равна 18.$$1098:18=61$$

Число с заданными остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 5, и на 6 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе запишите…

1. 1
   Обозначим искомое число через $n$. Тогда числа $n-1$ должно делиться на 4, 5 и 6.
2. 2
   Наименьшее общее кратное чисел 4, 5 и 6 равно 60, поэтому $n-1$ кратно 60, а $n=60k+1$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Итоговая отметка по произведению

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители, соответствующие пяти отметкам. Так как каждая отметка является цифрой от 2 до 5, подходит разложение$$5825 = 5 \cdot 5 \cdot 233$$
2. 2
   Следовательно, пять последовательных отметок Пети: $5$, $5$, $2$, $3$, $3$.$$5+5+2+3+3=18$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 3456. Укажите какое-нибудь одно такое…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. Так как оно кратно 5, его последняя цифра равна 0 или 5. После разворота должно получиться четырёхзначное число, поэтому последняя цифра исходного числа не может быть равна 0. Значит…
2. 2
   Разность числа и числа, записанного в обратном порядке, равна:$$\overline{abcd}-\overline{dcba}=999(a-d)+90(b-c)=3456$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число кратное 12

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим условие кратности 12 на признаки делимости на 3 и на 4.$$12=3\cdot4$$
2. 2
   Проверим число 4512: произведение его цифр равно 40.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число и цифры

Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 1, 2, 6, 7, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 2, 3, 4, 5. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число…

1. 1
   Так как число $A$ больше 1500 и состоит из цифр 1, 2, 6, 7, достаточно проверить подходящие перестановки этих цифр.
2. 2
   Число $A = 1726$ удовлетворяет условию: при умножении на 2 получается четырёхзначное число, составленное из цифр 2, 3, 4, 5.$$2A = 2 \cdot 1726 = 3452$$

Ещё 1 шаг — в полном решении