Найдите четырёхзначное число, большее 3500, но меньшее 5500, которое делится на 40 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Так как число больше $3500$ и меньше $5500$, его первая цифра может быть равна 4 или 5. Требуется, чтобы цифры строго убывали.
- 2
Число, делящееся на 40, должно оканчиваться на 0. Подберём убывающие цифры для числа, начинающегося с 5: получаем число $5320$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите чётное четырёхзначное натуральное число, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения.
- 1
Рассмотрим число 1152. Оно является четырёхзначным и чётным, так как оканчивается цифрой 2.
- 2
Сумма его цифр равна 9:$$1+1+5+2=9$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите трёхзначное натуральное число, кратное 4, сумма цифр которого равна их произведению.
- 1
Рассмотрим число $132$. Сумма его цифр равна $1+3+2=6$.$$1+3+2=6$$
- 2
Произведение цифр также равно $6$.$$1\cdot3\cdot2=6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное число, кратное 12, произведение цифр которого больше 25, но меньше 30. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Проверим число $2712$ на кратность $12$.$$2712 : 12 = 226$$
- 2
Вычислим произведение его цифр.$$2 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 2 = 28$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 3500, но меньшее 3850, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны.
- 1
Рассмотрим подходящее число $3612$: оно четырёхзначное и удовлетворяет условию $3500 < 3612 < 3850$.$$3500 < 3612 < 3850$$
- 2
Все цифры числа различны: $3$, $6$, $1$ и $2$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 294, номер первой страницы после выпавших листов записывается этими же цифрами, но в другом…
- 1
Номер первой страницы после выпавших листов должен быть больше 294 и состоять из тех же цифр. Наименьшее подходящее число — 429.$$294 < 429$$
- 2
Количество бет, выпавших из книги, равно числу бет между 294 и 429.$$429 - 294 - 1 = 134$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите трёхзначное число, кратное 40, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 25. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Рассмотрим число $120$. Все его цифры различны: $1$, $2$ и $0$.
- 2
Проверим кратность $40$:$$120 = 40 \cdot 3$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 5 и делится на 45. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Так как $45 = 5 \cdot 9$, число должно делиться на 5 и на 9.
- 2
Для делимости на 5 последняя цифра должна быть равна 5.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите трёхзначное натуральное число, большее 600, которое при делении и на 3, и на 4, и на 5 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе…
- 1
Поскольку при делении на 3, 4 и 5 число даёт остаток 1, число $n-1$ делится на каждое из чисел $3$, $4$ и $5$.$$n-1 \vdots 3,\quad n-1 \vdots 4,\quad n-1 \vdots 5$$
- 2
Наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 5 равно 60, поэтому число имеет вид:$$n=60k+1$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Вычеркните в числе 48725459 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.
- 1
Число должно делиться на 15, то есть одновременно делиться на 3 и на 5.
- 2
Оставим в исходном числе цифры 8, 2, 5, 4, 5, а цифры 4, 7 и 9 вычеркнем. Получим число 82545.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное число, большее 4000, но меньшее 6500, которое делится на 60 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число должно быть четырёхзначным, больше 4000 и меньше 6500. Выберем число 4320.
- 2
Проверим порядок цифр: $4 > 3 > 2 > 0$, поэтому каждая следующая цифра меньше предыдущей.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 24, произведение цифр которого равно 16. Запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Рассмотрим число $1128$. Проверим произведение его цифр:$$1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 8 = 16$$
- 2
Сумма цифр числа равна $12$, поэтому число делится на $3$.$$1+1+2+8=12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…
- 1
Число $190$ уже представлено в виде произведения трёх различных простых чисел: $2 \cdot 5 \cdot 19$.$$p_1=2,\quad p_2=5,\quad p_3=19$$
- 2
По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(5+1)(19+1)=3\cdot6\cdot20=360$$
В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…
- 1
Разложим произведение на простые множители:$$2007 = 3 \cdot 669 = 3 \cdot 3 \cdot 223$$
- 2
Число $223$ можно получить как последовательность трёх отметок $2$, $2$, $3$, а два оставшихся множителя $3$ и $3$ соответствуют двум отметкам. Таким образом, пять отметок — это $3$, $3$, $2$, $2$, $3$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 9 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо.
- 1
Так как при делении числа на 5 и на 9 получается остаток 1, число на 1 больше числа, кратного и 5, и 9.$$n-1\vdots 5,\quad n-1\vdots 9$$
- 2
Числа 5 и 9 взаимно просты, поэтому их наименьшее общее кратное равно $45$. Следовательно, искомое число имеет вид:$$n=45k+1$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное число, кратное 12, произведение цифр которого больше 50, но меньше 55. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Выберем число $3912$. Проверим произведение его цифр:$$3 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 2 = 54$$
- 2
Число $3912$ делится на $3$, поскольку сумма его цифр равна $3+9+1+2=15$, и делится на $4$, поскольку последние две цифры образуют число $12$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 55, но меньше 65. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число, кратное 15, должно делиться на 3 и на 5. Поэтому его последняя цифра равна 5, а сумма цифр должна делиться на 3.$$n \equiv 0 \pmod{15}$$
- 2
Рассмотрим число 2235. Сумма его цифр равна 12, поэтому число делится на 3; последняя цифра равна 5, поэтому оно делится на 5 и, следовательно, на 15.$$2 + 2 + 3 + 5 = 12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. Запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Разложим число $72$ на взаимно простые множители:$$72 = 8 \cdot 9$$
- 2
Проверим число $122112$ на делимость на $8$: его последние три цифры образуют число $112$, которое делится на $8$.$$112 : 8 = 14$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное число, кратное 36, произведение цифр которого больше 12, но меньше 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Подберём четырёхзначное число, произведение цифр которого находится между 12 и 18. Возьмём число 4212.$$4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 = 16$$
- 2
Проверим делимость на 36. Число делится на 4, поскольку его последние две цифры образуют число 12, делящееся на 4.$$12 : 4 = 3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Вычеркните в числе 82584703 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
- 1
Число должно делиться на 18, то есть быть одновременно кратным 2 и 9.
- 2
Оставим в исходном числе первые пять цифр: 82584. Для этого вычеркнем цифры 7, 0 и 3.
Ещё 1 қадам — толық шешімде