Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Окружность и вписанные фигуры» — с ответами

Угол по дуге окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что угол $\angle NBA = 69^\circ$. Найдите угол $\angle NMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный угол $\angle NBA$ опирается на дугу $NA$, поэтому её величина в два раза больше угла.$$\overset{\frown}{NA} = 2 \cdot 69^\circ = 138^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{AN} + \overset{\frown}{NB} = 180^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота трапеции по радиусу

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Окружность касается обоих параллельных оснований трапеции, поэтому расстояние между основаниями равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 34 = 68$$

Радиус вписанной окружности

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

1. 1
   Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 56$$
2. 2
   Радиус равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{56}{2} = 28$$

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $82^\circ$, угол $CAD$ равен $28^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $ABD$ и $ACD$ — вписанные и опираются на одну дугу $AD$, поэтому они равны.$$\angle ACD=\angle ABD=82^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ACD$ и найдём его третий угол.$$\angle ADC=180^\circ-\angle ACD-\angle CAD=180^\circ-82^\circ-28^\circ=70^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь квадрата в окружности

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\sqrt{10}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

1. 1
   Обозначим сторону квадрата через $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, имеем $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
2. 2
   Треугольник $ODA$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$OA^2 = OD^2 + AD^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь квадрата и окружность

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $2{,}5$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

1. 1
   Обозначим сторону квадрата через $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
2. 2
   Треугольник $AOD$ прямоугольный, поскольку стороны квадрата перпендикулярны. По теореме Пифагора:$$OA^2 = AD^2 + OD^2 = a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь квадрата по радиусу

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $2$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

1. 1
   Пусть сторона квадрата равна $a$. Поскольку $O$ — середина стороны $CD$, имеем $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
2. 2
   Треугольник $AOD$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$OA^2 = AD^2 + OD^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь квадрата в окружности

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен 3. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

1. 1
   Обозначим сторону квадрата через $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD=\dfrac{a}{2}$, а $AD=a$.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOD$ по теореме Пифагора:$$OA^2=AD^2+OD^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5a^2}{4}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Отношение площадей кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   По клеткам видно, что диаметр большего круга в 3 раза больше диаметра меньшего. Значит, радиус большего круга также в 3 раза больше.$$R_б=3R_м$$
2. 2
   Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.$$\dfrac{S_б}{S_м}=\left(\dfrac{R_б}{R_м}\right)^2=3^2=9$$

Истинные геометрические утверждения

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

1. 1
   Все диаметры одной окружности равны между собой, так как каждый из них имеет длину, равную двум радиусам окружности.$$d = 2r$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине соответствующего центрального угла, а не самому центральному углу.$$\alpha = \dfrac{\beta}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Первое утверждение является верным: если соответствующие углы двух треугольников равны, то треугольники подобны по трём углам.
2. 2
   Радиусы окружностей сами по себе не определяют, пересекаются ли окружности. Необходимо также знать расстояние между их центрами.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Равенство трёх углов двух треугольников означает их подобие, но стороны могут иметь разные размеры. Первое утверждение неверно.
2. 2
   Любой диаметр одной окружности проходит через её центр и имеет длину, равную удвоенному радиусу окружности.$$d = 2R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=12$.

1. 1
   Расположим $AC$ на оси абсцисс: $A=(0,0)$, $C=(12,0)$, $B=(u,v)$. Высота из точки $B$ перпендикулярна $AC$, поэтому её основание имеет координаты $(u,0)$. Так как биссектриса делит высоту в отношении $5:4$, считая от точки $B$, точка их…
2. 2
   Расстояние от точки $D$ до стороны $AC$ равно $\dfrac{4v}{9}$. Так как $D$ лежит на биссектрисе угла $A$, расстояние от $D$ до стороны $AB$ такое же. Вычисление расстояния до прямой $AB$ даёт $\dfrac{5uv}{9AB}=\dfrac{4v}{9}$, откуда…

Ещё 4 шага — в полном решении

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=6$.

1. 1
   Обозначим через $D$ основание высоты, проведённой из вершины $B$ на сторону $AC$, а через $E$ — точку пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BE:ED=5:4$, поэтому $BE:BD=5:9$.
2. 2
   Пусть $\angle BAC=2\alpha$. Рассмотрим проекцию точки $B$ на сторону $AC$. Из условия деления высоты точкой $E$ и из прямоугольного треугольника, образованного высотой, следует соотношение $\cos 2\alpha=\dfrac{4}{5}$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Расстояние до основания трапеции

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

1. 1
   Обозначим основания равнобедренной трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону через $c$, а высоту через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны:$$a+b=2c$$
2. 2
   Из условия о периметре получаем:$$a+b+2c=160$$

Ещё 7 шагов — в полном решении

Хорда окружности в треугольнике

Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…

1. 1
   Так как $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, по теореме Фалеса углы $BPH$ и $BKH$ являются прямыми.$$\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ$$
2. 2
   Поскольку $P \in AB$, $K \in CB$, а $BH \perp AC$, имеем $\angle PBH = \angle CBH$. Следовательно, прямоугольные треугольники $BPH$ и $BKH$ подобны.

Ещё 3 шага — в полном решении

Длина хорды окружности

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 16$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $15$ и $8$.

1. 1
   Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Поэтому половина хорды $AB$ равна $8$.$$\frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.$$R^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289,\quad R = 17$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $13:12$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если…

1. 1
   Пусть $D$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с высотой $BH$, а $\angle A=2\alpha$. Тогда биссектриса образует с каждой из сторон угла $A$ угол $\alpha$.
2. 2
   Введём обозначение $AB=c$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $BH$, имеем $BD=c\sin\alpha$, а длина высоты равна $BH=2c\sin\alpha\cos\alpha$.$$BH=2c\sin\alpha\cos\alpha$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Расстояние до меньшего основания

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

1. 1
   Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону — через $c$, а высоту — через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны. Поэтому$$a+b=2c$$
2. 2
   Из условия о периметре получаем$$a+b+2c=200$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Расстояние до основания трапеции

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

1. 1
   Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону через $l$, а высоту через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:$$a+b=2l$$
2. 2
   Из условия о периметре получаем:$$a+b+2l=100$$

Ещё 8 шагов — в полном решении