Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью…
- 1
Пусть длина всего пути равна $S$ км, а скорость первого автомобиля — $v$ км/ч. Тогда время движения первого автомобиля равно:$$\dfrac{S}{v}$$
- 2
Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 30 км/ч, поэтому затратил на неё время:$$\dfrac{S/2}{30}=\dfrac{S}{60}$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 28%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 52 кг высушенных фруктов?
- 1
Найдём содержание сухого вещества в свежих фруктах:$$100\%-84\%=16\%$$
- 2
Найдём массу сухого вещества в 52 кг высушенных фруктов. В них содержится 72% сухого вещества:$$52\cdot0{,}72=37{,}44\ \text{кг}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Баржа прошла по течению реки 80 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а скорость против течения — $x-5$ км/ч.
- 2
Время движения по течению составляет $\dfrac{80}{x+5}$ часов, а время движения против течения — $\dfrac{60}{x-5}$ часов. По условию их сумма равна 10 часам:$$\dfrac{80}{x+5}+\dfrac{60}{x-5}=10$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 3 км/ч. Время движения плота до момента возвращения лодки составило$$t_{\text{плота}}=\dfrac{48}{3}=16\text{ ч}$$
- 2
Лодка отправилась на один час позже плота, поэтому она находилась в пути$$t_{\text{лодки}}=16-1=15\text{ ч}$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 260 литров она заполняет на 6 минут дольше…
- 1
Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+3$ литров воды в минуту.
- 2
Время заполнения резервуара первой трубой равно $\dfrac{260}{x}$ минут, а второй трубой — $\dfrac{260}{x+3}$ минут. По условию первая труба заполняет резервуар на 6 минут дольше.$$\dfrac{260}{x}=\dfrac{260}{x+3}+6$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую — со скоростью 51 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Пусть половина всего пути равна $s$ км. Тогда весь путь составляет $2s$ км.
- 2
Время движения на первой половине пути равно $\dfrac{s}{34}$ ч, а на второй половине — $\dfrac{s}{51}$ ч.
Ещё 2 шага — в полном решении
Моторная лодка прошла против течения реки 288 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x-4$ км/ч, а скорость по течению — $x+4$ км/ч.
- 2
Время движения против течения составляет $\dfrac{288}{x-4}$ часов, а время движения по течению — $\dfrac{288}{x+4}$ часов.
Ещё 4 шага — в полном решении
Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч. Поскольку скорость против течения должна быть положительной, $x>5$.$$v_{\text{по течению}}=x+5,\quad v_{\text{против течения}}=x-5$$
- 2
Время движения по течению составляет $\dfrac{32}{x+5}$ часа, а время движения против течения — $\dfrac{24}{x-5}$ часа. Их сумма равна 4 часам.$$\dfrac{32}{x+5}+\dfrac{24}{x-5}=4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, скорость поезда относительно пешехода равна разности их скоростей.$$v_{\text{отн}} = 63 - 3 = 60\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду:$$60\ \text{км/ч} = 60 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{50}{3}\ \text{м/с}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 140 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час…
- 1
Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+6$ деталей в час.
- 2
Время выполнения заказа вторым рабочим равно $\dfrac{140}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{140}{x+6}$ часов. По условию второй рабочий тратит на 3 часа больше:$$\dfrac{140}{x}-\dfrac{140}{x+6}=3$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из В в А. Тогда скорость на пути из А в В равна $x - 5$ км/ч.
- 2
Время движения из А в В равно $\dfrac{180}{x - 5}$ ч.
Ещё 3 шага — в полном решении
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого…
- 1
Пусть длина одного круга равна $x$ км. Через один час первому бегуну оставался 1 км до конца круга, значит, он пробежал $x-1$ км. Поэтому его скорость равна$$v_1=x-1$$
- 2
Второй бегун пробежал круг на 3 минуты раньше, то есть за $60-3=57$ минут, или за $0{,}95$ часа. Его скорость равна$$v_2=\dfrac{x}{0{,}95}=\dfrac{20x}{19}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Обозначим весь путь автомобиля через $S$ км. Тогда каждая половина пути равна $\dfrac{S}{2}$ км.$$S_1=S_2=\dfrac{S}{2}$$
- 2
Найдём время движения на каждом участке.$$t_1=\dfrac{S/2}{60}=\dfrac{S}{120},\quad t_2=\dfrac{S/2}{90}=\dfrac{S}{180}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Решите систему уравнений $\begin{cases}3x^2+y=4,\\2x^2-y=1.\end{cases}$
- 1
Сложим уравнения системы почленно. Переменная $y$ исключается:$$(3x^2+y)+(2x^2-y)=4+1$$
- 2
Решим получившееся уравнение относительно $x$:$$5x^2=5,\quad x^2=1,\quad x=\pm1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 195 км — со скоростью 65 км/ч, а последние 225 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём длину всего пути:$$S_{\text{общ}} = 140 + 195 + 225 = 560\ \text{км}$$
- 2
Определим время движения на каждом участке:$$t_1 = \dfrac{140}{70} = 2\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{195}{65} = 3\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{225}{75} = 3\ \text{ч}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость теплохода по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.$$x+5,\quad x-5$$
- 2
Общее время движения без стоянки равно $35-23=12$ часов.$$t_{\text{движения}}=35-23=12$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Два автомобиля одновременно отправляются в 990-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля равна $x - 20$ км/ч.
- 2
Время движения первого автомобиля равно $\dfrac{990}{x}$ ч, а второго — $\dfrac{990}{x-20}$ ч. Второй автомобиль был в пути на 2 часа дольше.$$\dfrac{990}{x-20} - \dfrac{990}{x} = 2$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Обозначим собственную скорость баржи через $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.$$x+5,\quad x-5$$
- 2
Время движения по течению составляет $\dfrac{40}{x+5}$ ч, а время движения против течения — $\dfrac{30}{x-5}$ ч. По условию их сумма равна 5 часам.$$\dfrac{40}{x+5}+\dfrac{30}{x-5}=5$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Два автомобиля одновременно отправляются в 720-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+30$ км/ч.
- 2
Время движения второго автомобиля равно $\dfrac{720}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{720}{x+30}$ ч. Первый автомобиль был в пути на 4 часа меньше:$$\dfrac{720}{x} - \dfrac{720}{x+30} = 4$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 51 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 50 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей.$$v_{\text{отн}}=51+3=54\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$54\ \text{км/ч}=54\cdot\frac{1000}{3600}=15\ \text{м/с}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении