Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 18. Найдите объём конуса.
- 1
Запишем формулы объёмов цилиндра и конуса с одинаковыми радиусом основания и высотой.$$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h,\quad V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$
- 2
Следовательно, объём конуса в три раза меньше объёма цилиндра.$$V_{\text{кон}} = \frac{V_{\text{цил}}}{3} = \frac{18}{3} = 6$$
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $9\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.
- 1
Обозначим радиус сферы и радиус основания конуса через $R$. Так как центр сферы совпадает с центром основания, расстояние от него до вершины конуса, то есть высота конуса, также равно $R$.$$h=R$$
- 2
По теореме Пифагора для образующей конуса:$$l^2=R^2+h^2=R^2+R^2=2R^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $84\sqrt{2}$. Найдите длину образующей…
- 1
Окружность основания конуса лежит на сфере, а центр сферы находится в центре основания. Поэтому радиус основания конуса равен радиусу сферы:$$r=84\sqrt{2}$$
- 2
Вершина конуса также лежит на сфере, поэтому расстояние от центра основания до вершины, то есть высота конуса, равно радиусу сферы:$$h=84\sqrt{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём конуса равен 6. Найдите объём цилиндра.
- 1
При одинаковых основании и высоте объём конуса составляет одну треть объёма цилиндра.$$V_{\text{к}} = \dfrac{1}{3}V_{\text{ц}}$$
- 2
Выразим объём цилиндра и подставим известное значение.$$V_{\text{ц}} = 3V_{\text{к}} = 3 \cdot 6 = 18$$
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $B_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $3$, а боковое ребро равно $8$.
- 1
Многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $B_1$ является треугольной пирамидой с основанием $ABC$.$$S_{ABC}=3$$
- 2
Высота пирамиды равна расстоянию от точки $B_1$ до плоскости основания $ABC$. Это расстояние равно боковому ребру призмы.$$h=BB_1=8$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 18. Найдите площадь боковой…
- 1
Средняя линия треугольника отсекает треугольник, стороны которого в 2 раза меньше соответствующих сторон исходного треугольника.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Периметр отсечённого треугольного основания в 2 раза меньше периметра исходного. Высота призмы сохраняется, поэтому площадь боковой поверхности также в 2 раза меньше.$$S_{\text{отс}}=\frac{1}{2}S_{\text{исх}}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $3\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
- 1
Так как высота цилиндра равна радиусу основания, обозначим их через $r$: $h=r$. Образующая конуса равна$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}$$
- 2
Площадь боковой поверхности конуса по условию равна $3\sqrt{2}$:$$\pi r l=\pi r\cdot r\sqrt{2}=\pi r^2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 9$, $BC = 6$, $AA_1 = 5$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$.
- 1
Основанием тетраэдра $ABCB_1$ выберем треугольник $ABC$. Он прямоугольный, так как $AB \perp BC$.$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27$$
- 2
Высота тетраэдра равна ребру $BB_1$, а в прямоугольном параллелепипеде $BB_1 = AA_1 = 5$.$$h = 5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 9 раз, а радиус основания останется прежним?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Радиус основания остаётся прежним, поэтому множитель $\dfrac{1}{3}\pi r^2$ не изменяется. Объём прямо пропорционален высоте.$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{1}{9}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Дана правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $8$, а боковое ребро равно $6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $C$, $A_1$…
- 1
Обозначим высоту призмы через $h=6$, а площадь её основания через $S_0=8$.
- 2
На высоте $x$ сечение искомого многогранника представляет собой трапецию, площадь которой выражается формулой$$S(x)=S_0\left(2\frac{x}{h}-\left(\frac{x}{h}\right)^2\right)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Объём куба равен 144. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из…
- 1
Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда объём куба равен $a^3=144$.
- 2
Сечение плоскостью в грани, перпендикулярной третьему ребру, представляет собой прямоугольный треугольник с катетами $\dfrac{a}{2}$ и $\dfrac{a}{2}$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2h$. При переходе от первого цилиндра ко второму радиус увеличивается в 2 раза, поэтому множитель для $r^2$ равен $2^2 = 4$.$$r_2^2 = (2r_1)^2 = 4r_1^2$$
- 2
Высота второго цилиндра в 3 раза меньше, поэтому $h_2 = \dfrac{h_1}{3}$. Следовательно, объём второго цилиндра в $\dfrac{4}{3}$ раза больше объёма первого.$$V_2 = V_1 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{3}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Объём куба равен 80. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из…
- 1
Пусть ребро куба равно $a$. Основанием отсечённой призмы является прямоугольный треугольник на грани куба. Его катеты равны половинам рёбер куба:$$b=c=\dfrac{a}{2}$$
- 2
Площадь основания призмы равна:$$S=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a}{2}=\dfrac{a^2}{8}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара, равна 12. Найдите площадь поверхности шара.
- 1
Сечение шара плоскостью, проходящей через центр, является большим кругом. Его площадь равна 12:$$\pi r^2 = 12$$
- 2
Площадь поверхности шара в төрт раза больше площади большого круга:$$S = 4\pi r^2 = 4 \cdot 12 = 48$$
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости…
- 1
Основание пирамиды — квадрат со стороной 8, поэтому его площадь равна$$S_{\text{осн}}=8^2=64$$
- 2
Центр правильной пирамиды равноудалён от всех вершин основания. Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:1$, а $AB=2$…
- 1
Выберем систему координат: $O$ — начало координат, основание лежит в плоскости $z=0$, а ось $Oz$ направлена вдоль $SO$. Так как $AB=2$, можно взять $A(1,1,0)$, $B(-1,1,0)$, $C(-1,-1,0)$, $D(1,-1,0)$. Тогда $S(0,0,\sqrt{14})$.
- 2
Так как $M$ — середина $SC$, получаем $M\left(-\frac12,-\frac12,\frac{\sqrt{14}}2\right)$. Из условия $BK:KC=3:1$ следует, что $K$ находится на расстоянии $\frac34BC$ от точки $B$, поэтому $K\left(-1,-\frac12,0\right)$.
Ещё 7 қадам — толық шешімде
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:2$. Четырёхугольник…
- 1
Обозначим $\overrightarrow{BC}=\mathbf{u}$, $\overrightarrow{BA}=\mathbf{v}$, а вертикальный вектор призмы — $\mathbf{w}$. Тогда $|\mathbf{w}|=2$. Так как $B_1K:KC_1=1:2$, имеем $\overrightarrow{BK}=\mathbf{w}+\frac13\mathbf{u}$.
- 2
Основаниями трапеции являются $MK$ и $AN$. Действительно, $\overrightarrow{MK}=\frac13(\mathbf{u}-2\mathbf{v})$. Пусть $N$ делит $BC$ в отношении $BN:NC=t:(1-t)$. Тогда $\overrightarrow{AN}=t\mathbf{u}-\mathbf{v}$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 9. Точка лежит на ребре, а точка лежит на ребре. Известно, что. а) Докажите, что одна плоскость перпендикулярна…
- 1
Из условия известны только сторона основания правильной шестиугольной пирамиды и длина бокового ребра: 5 и 9.
- 2
Обозначения точек, рёбер, плоскостей и числовое условие между точками отсутствуют как в распознанном тексте, так и на предоставленном изображении.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через середину $M$ диагонали $AC_1$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная этой диагонали. $AB=5$, $BC=3$, $AA_1=4$. а) Докажите, что…
- 1
Введём прямоугольную систему координат: $A(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Тогда $B(5,0,0)$, $D(0,3,0)$, $A_1(0,0,4)$, $C_1(5,3,4)$.
- 2
Найдём координаты середины диагонали $AC_1$ и направляющий вектор этой диагонали:$$M\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2},2\right),\quad \overrightarrow{AC_1}=(5,3,4)$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$. а) Докажите, что прямая…
- 1
Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $CD$, отрезок $MN$ является общей перпендикулярной к противоположным рёбрам $AB$ и $CD$ правильного тетраэдра. В частности, $MN \perp AB$ и $MN \perp CD$.$$MN \perp AB,\quad MN \perp CD$$
- 2
Поскольку плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$, любая прямая, лежащая в $\alpha$ и параллельная $AB$ или $CD$, перпендикулярна $MN$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде