3
Решение: Объём части треугольной призмы
ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 3 · Стереометрия
ПовышеннаяФИПИF277BEКороткий ответ≈ 4 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
Дана правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $8$, а боковое ребро равно $6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Обозначим высоту призмы через $h=6$, а площадь её основания через $S_0=8$.
2
На высоте $x$ сечение искомого многогранника представляет собой трапецию, площадь которой выражается формулой
$$S(x)=S_0\left(2\frac{x}{h}-\left(\frac{x}{h}\right)^2\right)$$3
Вычислим объём как интеграл площади горизонтального сечения по высоте.
$$V=\int_0^6 8\left(2\frac{x}{6}-\left(\frac{x}{6}\right)^2\right)dx$$После вычисления интеграла получаем
$$V=8\cdot 6\cdot\frac{2}{3}=32$$Ответ
32
32
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Вычисляют объём всей призмы $8\cdot 6=48$.
Считают искомый многогранник половиной призмы.
Неверно определяют площадь горизонтального сечения.