Решите неравенство $\dfrac{15^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^2+2x}\ge 0$.
- 1
Разложим числитель на множители:$$15^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15=3^x5^x-3\cdot3^x-5\cdot5^x+15=(3^x-5)(5^x-3)$$
- 2
Разложим знаменатель и определим область допустимых значений:$$-x^2+2x=x(2-x),\quad x\ne0,\ x\ne2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите неравенство. В исходном изображении выражение не отображается, поэтому условие задачи неполное.
- 1
В предоставленном скриншоте после слов «Решите неравенство» математическое выражение отсутствует или не распознано.
- 2
Поэтому выполнить преобразования, определить область допустимых значений и записать множество решений невозможно.
Решите неравенство $\dfrac{4}{3^x-27} \geq \dfrac{1}{3^x-9}$.
- 1
Определим область допустимых значений: знаменатели не должны обращаться в ноль.$$3^x-27\ne0,\quad 3^x-9\ne0$$
- 2
Перенесём правую часть в левую и приведём дроби к общему знаменателю.$$\frac{4}{3^x-27}-\frac{1}{3^x-9}=\frac{4(3^x-9)-(3^x-27)}{(3^x-27)(3^x-9)}=\frac{3(3^x-3)}{(3^x-27)(3^x-9)}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите неравенство $\log_{0,5}(x^3-3x^2-9x+27)\leq\log_{0,25}(x-3)^4$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргумент второго логарифма должен быть положительным: $x-3>0$, поэтому $x>3$. При $x>3$ аргумент первого логарифма также положителен после разложения.$$x>3$$
- 2
Разложим выражение под первым логарифмом на множители.$$x^3-3x^2-9x+27=x^2(x-3)-9(x-3)=(x-3)^2(x+3)$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $$\frac{\log_4(64x)}{\log_4 x-3}+\frac{\log_4 x-3}{\log_4(64x)}\geq\frac{\log_4 x^4+16}{\log_4^2 x-9}.$$
- 1
Обозначим $t=\log_4 x$. Так как основание логарифма больше единицы, область определения исходного выражения задаётся условиями $x>0$, $\log_4x-3\ne0$ и $\log_4(64x)\ne0$. Поэтому $t\ne3$ и $t\ne-3$.$$t=\log_4x,\quad t\ne\pm3$$
- 2
Выразим остальные логарифмы через $t$:$$\log_4(64x)=\log_4(4^3x)=t+3,\quad \log_4x^4=4t$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{\log_3(9x)\cdot\log_4(64x)}{5x^2-|x|}\le 0$.
- 1
Область допустимых значений определяется условиями существования логарифмов и ненулевого знаменателя. Поэтому $x>0$ и $5x^2-|x|\ne0$.$$x>0$$
- 2
Так как $x>0$, то $|x|=x$, поэтому знаменатель равен $5x^2-x=x(5x-1)$. С учётом $x>0$ знаменатель обращается в ноль при $x=\dfrac{1}{5}$, и эта точка исключается.$$5x^2-|x|=x(5x-1)$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{\log_2(8x)\cdot\log_3(27x)}{x^2-|x|}\le 0$.
- 1
Логарифмы определены при $8x>0$ и $27x>0$, поэтому $x>0$. При этом $|x|=x$, а знаменатель не должен обращаться в ноль:$$x^2-|x|=x^2-x=x(x-1)\ne 0$$
- 2
Следовательно, область допустимых значений:$$x>0,\quad x\ne 1$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{\log_4(16x^4)+11}{\log_4^2 x-9}\ge -1$.
- 1
Из условий существования логарифмов получаем $x>0$. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в ноль:$$\log_4^2 x-9\ne0$$
- 2
Введём замену $t=\log_4 x$. Тогда $t\ne -3$ и $t\ne 3$, а числитель преобразуется следующим образом:$$\log_4(16x^4)+11=\log_4 16+4\log_4x+11=2+4t+11=4t+13$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере 40 млн рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего…
- 1
Переведём сумму кредита в тысячи рублей: $40$ млн рублей равны $40000$ тыс. рублей. Обозначим коэффициент увеличения долга за январь через $q$:$$q=1+\frac{r}{100}$$
- 2
Обозначим долги на июль 2028, 2029, 2030 и 2031 годов через $D_0,D_1,D_2,D_3$. Каждый из первых трёх долгов уменьшается на $25\%$, то есть умножается на $0{,}75$:$$D_0=40000,\quad D_1=0{,}75D_0=30000,\quad D_2=22500,\quad D_3=16875$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Решите неравенство $1+\dfrac{5}{\log_4 x-3}+\dfrac{6}{\log_4^2 x-\log_4(64x^6)+12}\ge 0$.
- 1
Область определения исходного неравенства: $x>0$, а также знаменатели не должны обращаться в ноль. Введём замену $t=\log_4 x$.$$x>0,\quad t\ne 3$$
- 2
Преобразуем логарифм в знаменателе второй дроби:$$\log_4(64x^6)=\log_4 64+\log_4 x^6=3+6t$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{\log_2(32x)}{\log_2 x-5}+\dfrac{\log_2 x-5}{\log_2(32x)}\geq\dfrac{\log_2(x^{16})+18}{\log_2(x^2)-25}$.
- 1
Область допустимых значений определяется условиями существования логарифмов и ненулевых знаменателей:$$x>0,\quad \log_2x\ne5,\quad \log_2(32x)\ne0,\quad \log_2(x^2)-25\ne0$$
- 2
Введём замену $t=\log_2x$. Тогда $\log_2(32x)=t+5$, $\log_2(x^{16})=16t$, а $\log_2(x^2)=2t$.$$\frac{t+5}{t-5}+\frac{t-5}{t+5}\geq\frac{16t+18}{2t-25},\quad t\ne-5,5,\frac{25}{2}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $\log_{8}(x^3-3x^2+3x-1) \geq \log_{2}(x^2-1)-5$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными:$$(x-1)^3>0,\quad x^2-1>0$$
- 2
Из первого неравенства следует $x>1$. При $x>1$ второе условие также выполняется, поэтому ОДЗ: $x>1$.$$x\in(1,+\infty)$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Решите неравенство $3^x + \dfrac{243}{3^x - 36} \ge 0$.
- 1
Выполним замену $t = 3^x$. Так как показательная функция положительна, $t > 0$. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в ноль: $t \ne 36$.$$t=3^x,\quad t>0,\quad t\ne36$$
- 2
Приведём выражение к общему знаменателю:$$t+\frac{243}{t-36}=\frac{t(t-36)+243}{t-36}=\frac{t^2-36t+243}{t-36}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{x^3+x^2-x-1}{4^{x^2}-8\cdot 2^{x^2}+16}\ge 0$.
- 1
Разложим числитель на множители группировкой:$$x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)^2(x-1)$$
- 2
Преобразуем знаменатель:$$4^{x^2}-8\cdot 2^{x^2}+16=(2^{x^2})^2-8\cdot 2^{x^2}+16=(2^{x^2}-4)^2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{4^x-3\cdot2^{x+1}+4}{2^x-5}+\dfrac{3\cdot2^{x+1}-46}{2^x-8}\le 2^x+5$.
- 1
Выполним замену $t=2^x$. Тогда $t>0$, $4^x=t^2$, $2^{x+1}=2t$, а значения $t=5$ и $t=8$ необходимо исключить.$$t=2^x>0,\quad t\ne5,\quad t\ne8$$
- 2
Подставим замену и перенесём правую часть в левую:$$\frac{t^2-6t+4}{t-5}+\frac{6t-46}{t-8}-(t+5)\le0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{3^x+9}{3^x-9}+\dfrac{3^x-9}{3^x+9}\geq\dfrac{4\cdot 3^{x+1}+144}{9^x-81}$.
- 1
ОДЗ определяется ненулевыми знаменателями: $3^x\neq 9$, то есть $x\neq 2$. Сделаем замену $t=3^x$, тогда $t>0$ и $t\neq 9$.$$t=3^x$$
- 2
Преобразуем левую часть и правую часть неравенства:$$\frac{t+9}{t-9}+\frac{t-9}{t+9}\geq\frac{12t+144}{t^2-81}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $\log_5\bigl((3-x)(x^2+2)\bigr)\geq\log_5(x^2-7x+12)+\log_5(5-x)$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: $(3-x)(x^2+2)>0$. Так как $x^2+2>0$ при любом $x$, получаем $x<3$.$$(3-x)(x^2+2)>0\Rightarrow x<3$$
- 2
Для второго логарифма требуется $x^2-7x+12>0$, то есть $(x-3)(x-4)>0$. Отсюда $x<3$ или $x>4$. Для третьего логарифма $5-x>0$, то есть $x<5$. Общая область допустимых значений: $x<3$.$$(x-3)(x-4)>0,\quad 5-x>0\Rightarrow x<3$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите неравенство $3^{\log_3(25-5^x)}+25^x-45\ge 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть положительным:$$25-5^x>0$$
- 2
Так как $5^2=25$, получаем:$$5^x<5^2\quad\Rightarrow\quad x<2$$
Ещё 7 шагов — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{1}{3^{x+21}}+\dfrac{1}{3^{x-27}}\geq 0$.
- 1
Показательные функции $3^{x+21}$ и $3^{x-27}$ определены при всех действительных значениях $x$. Кроме того, поскольку основание $3$ положительно, оба значения знаменателей положительны.$$3^{x+21}>0,\quad 3^{x-27}>0$$
- 2
Следовательно, каждое слагаемое в левой части неравенства положительно.$$\dfrac{1}{3^{x+21}}>0,\quad \dfrac{1}{3^{x-27}}>0$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Решите неравенство $\dfrac{8x^3-4x^2-2x+1}{16^{x^2}-4\cdot 4^{x^2}+4}\le 0$.
- 1
Разложим числитель на множители:$$8x^3-4x^2-2x+1=(2x-1)(4x^2-1)=(2x-1)^2(2x+1)$$
- 2
Преобразуем знаменатель. Обозначим $t=4^{x^2}$. Тогда $16^{x^2}=t^2$, поэтому:$$16^{x^2}-4\cdot4^{x^2}+4=(4^{x^2})^2-4\cdot4^{x^2}+4=(4^{x^2}-2)^2$$
Ещё 4 шага — в полном решении