Решение: Рациональное неравенство с логарифмами
Решите неравенство $$\frac{\log_4(64x)}{\log_4 x-3}+\frac{\log_4 x-3}{\log_4(64x)}\geq\frac{\log_4 x^4+16}{\log_4^2 x-9}.$$
Решение по шагам
7 шаговОбозначим $t=\log_4 x$. Так как основание логарифма больше единицы, область определения исходного выражения задаётся условиями $x>0$, $\log_4x-3\ne0$ и $\log_4(64x)\ne0$. Поэтому $t\ne3$ и $t\ne-3$.
$$t=\log_4x,\quad t\ne\pm3$$Выразим остальные логарифмы через $t$:
$$\log_4(64x)=\log_4(4^3x)=t+3,\quad \log_4x^4=4t$$Подставим полученные выражения в неравенство:
$$\frac{t+3}{t-3}+\frac{t-3}{t+3}\geq\frac{4t+16}{t^2-9}$$Приведём левую часть к общему знаменателю и перенесём всё в левую часть:
$$\frac{(t+3)^2+(t-3)^2-4t-16}{(t-3)(t+3)}\geq0$$Упростим числитель:
$$\frac{2t^2+18-4t-16}{(t-3)(t+3)}=\frac{2(t-1)^2}{(t-3)(t+3)}\geq0$$Числитель неотрицателен при всех $t$ и обращается в ноль при $t=1$. При $t\ne1$ дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен: $t<-3$ или $t>3$. Значение $t=1$ также входит в решение, поскольку обращает дробь в ноль.
$$t\in(-\infty,-3)\cup\{1\}\cup(3,+\infty)$$Возвращаемся к переменной $x$: $x=4^t$. Получаем $4^{-3}=\frac1{64}$, $4^1=4$, $4^3=64$.
$$x\in\left(0,\frac1{64}\right)\cup\{4\}\cup(64,+\infty)$$$x\in\left(0,\frac1{64}\right)\cup\{4\}\cup(64,+\infty)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $t\ne-3$ и $t\ne3$, возникающие из знаменателей.
Потерять точку $t=1$, где числитель равен нулю.
Неверно заменить $\log_4(64x)$ на $t-3$ вместо $t+3$.
Забыть, что при переходе от $t$ к $x$ используется возрастающая функция $x=4^t$.