Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1, а высота пирамиды равна $32\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $1$, поэтому его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая втрое уже первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Первая кружка ниже второй в $4{,}5$ раза, поэтому $h_1 = \dfrac{h_2}{4{,}5}$. Вторая кружка втрое уже первой, значит $r_1 = 3r_2$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $10$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $7\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
- 1
Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h=SA=7\sqrt{3}$$
- 2
Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $10$, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{3}{4}$ высоты. Объём жидкости равен 270 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует конус, подобный всему сосуду. Их линейные размеры относятся как $3:4$.$$k = \dfrac{3}{4}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = \dfrac{27}{64}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $2\sqrt{2}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=\sqrt{8-4}=2$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника в основании призмы равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…
- 1
После погружения детали объём, занимаемый водой и деталью до нового уровня, стал в 1,2 раза больше исходного объёма воды.$$V_{\text{общ}}=1{,}2\cdot 5=6\text{ л}$$
- 2
Объём детали равен увеличению объёма: из конечного объёма вычитаем исходный объём воды.$$V_{\text{дет}}=6-5=1\text{ л}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольной пирамиде три ребра взаимно перпендикулярны, а их длины равны 4, 12 и 1. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Три взаимно перпендикулярных ребра являются измерениями прямоугольного тетраэдра.$$V = \dfrac{abc}{6}$$
- 2
Подставим длины рёбер и вычислим объём:$$V = \dfrac{4 \cdot 12 \cdot 1}{6} = 8$$
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим числом граней?
- 1
Плоскость проходит через точки $A$, $B$ и $C$, поэтому сечение призмы представляет собой треугольник $ABC$.
- 2
У многогранника с меньшим числом граней сохраняются три вершины исходной призмы, расположенные по одну сторону от плоскости сечения.
Ещё 1 шаг — в полном решении
От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
- 1
Пятиугольная призма имеет по пять вершин в каждом основании, всего 10 вершин.$$2 \cdot 5 = 10$$
- 2
В каждой вершине призмы сходятся три ребра. После отпиливания вершины каждое из этих рёбер заканчивается в новой вершине, поэтому одна исходная вершина заменяется тремя.$$10 \cdot 3 = 30$$
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 4, а объём параллелепипеда равен 240. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{240}{6 \cdot 4} = 10$$
- 2
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольной пирамиде три ребра взаимно перпендикулярны, а их длины равны 4, 6 и 1. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Три взаимно перпендикулярных ребра образуют прямоугольный трёхгранный угол. Объём пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{abc}{6}$$
- 2
Подставим длины рёбер в формулу.$$V = \dfrac{4 \cdot 6 \cdot 1}{6} = 4$$
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 8 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…
- 1
После погружения детали объём, занятый водой и деталью, стал в 1,5 раза больше первоначального объёма воды.$$V_{\text{итог}} = 1{,}5 \cdot 8 = 12\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен увеличению объёма воды.$$V_{\text{дет}} = 12 - 8 = 4\ \text{л}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника? Невидимые рёбра на рисунке не изображены.
- 1
Правильная пятиугольная призма имеет 10 вершин и 15 рёбер: по 5 рёбер в каждом основании и 5 боковых рёбер.$$E = 5 + 5 + 5 = 15$$
- 2
После отпиливания каждой вершины каждое исходное ребро сохраняет одну среднюю часть, то есть остаётся 15 рёбер.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1680$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному сосуду. Все линейные размеры малого конуса в $2$ раза меньше соответствующих размеров большого.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$V_{\text{жидкости}} = V_{\text{сосуда}} \cdot k^3 = 1680 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 50 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
Так как деталь полностью погружена в жидкость, её объём равен объёму вытесненной жидкости.$$V_{\text{дет}} = V_{\text{вытесн}}$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 50 см. Найдём его площадь.$$S_{\text{осн}} = 50^2 = 2500\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 20$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое меньше, чем у…
- 1
Объём воды сохраняется при переливании:$$\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$$
- 2
Радиус второго сосуда вдвое меньше, поэтому $r_2 = \dfrac{r_1}{2}$. Следовательно, площадь его основания в четыре раза меньше.$$r_2^2 = \dfrac{r_1^2}{4}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…
- 1
Рассмотрим большой прямоугольный параллелепипед, содержащий деталь. Его размеры равны $2$ см, $2$ см и $3$ см.$$V_1 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$$
- 2
Из него вырезан прямоугольный параллелепипед с размерами $1$ см, $1$ см и $3$ см.$$V_2 = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 20 см. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}} = 20^2 = 400\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямолинейный участок трубы длиной 6 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Окрашивается только боковая поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину.$$S = C \cdot h$$
- 2
Переведём длину трубы в сантиметры:$$6\ \text{м} = 600\ \text{см}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
- 1
Треугольная призма имеет 2 треугольных основания, 3 боковые грани и 6 вершин.$$2 + 3 = 5$$
- 2
При отпиливании каждой вершины образуется по одной новой грани. Значит, добавляются 6 граней.$$5 + 6 = 11$$