Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,7 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…

1. 1
   После погружения детали объём воды вместе с деталью стал в 1,7 раза больше первоначального объёма воды.$$V_{\text{общ}} = 1{,}7 \cdot 10 = 17\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен увеличению объёма воды.$$V_{\text{дет}} = 17 - 10 = 7\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1080$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость образует меньший конус, подобный сосуду. Его высота в два раза меньше высоты полного конуса.$$\dfrac{h_{\text{жидкости}}}{h_{\text{сосуда}}}=\dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шаров разных диаметров

Однородный шар диаметром 3 см весит 81 грамм. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам, а объёмы шаров пропорциональны кубам диаметров.$$m \sim d^3$$
2. 2
   Находим массу шара диаметром 5 см:$$m_2 = 81\left(\dfrac{5}{3}\right)^3 = 81\cdot\dfrac{125}{27} = 375$$

Объёмы квадратных коробок

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой…

1. 1
   Объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле:$$V = a^2h$$
2. 2
   Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда для второй коробки сторона основания равна $3a$, а высота — $\dfrac{h}{4{,}5}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 20 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость занимает малый конус, подобный всему сосуду. Его линейные размеры в 3 раза меньше, поэтому объём меньше в $3^3 = 27$ раз.$$V_{\text{жидкости}} = \frac{1}{27}V_{\text{сосуда}}$$
2. 2
   Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}} = 20 \cdot 27 = 540\ \text{мл}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямоугольных коробок

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в два с половиной раза выше второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй…

1. 1
   Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $2a$, а её высота — $\dfrac{h}{2{,}5}$.
2. 2
   Площадь квадратного основания второй коробки в 4 раза больше площади основания первой.$$S_2=(2a)^2=4a^2=4S_1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по высоте жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 75 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный всему сосуду. Коэффициент подобия по высоте равен $\frac{1}{2}$.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объём жидкой части составляет куб коэффициента подобия от объёма всего сосуда.$$V_{\text{жидкости}}=V_{\text{сосуда}}\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{V_{\text{сосуда}}}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,8 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   После погружения детали объём, занятый водой вместе с деталью до нового уровня, стал в 1,8 раза больше первоначального объёма воды.$$V_2 = 5 \cdot 1{,}8 = 9\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен разности нового и первоначального объёмов.$$V_{\text{дет}} = 9 - 5 = 4\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Грани усечённого куба

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

1. 1
   У куба 6 граней и 8 вершин.
2. 2
   При отпиливании каждой вершины образуется одна новая грань. Поэтому добавляются 8 новых граней.$$8 \text{ вершин} \rightarrow 8 \text{ новых граней}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы квадратных призм

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки…

1. 1
   Пусть сторона квадратного основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $3a$, а её высота равна $\dfrac{h}{1{,}5}$.
2. 2
   Площадь основания второй коробки больше площади основания первой в $9$ раз.$$S_2 = (3a)^2 = 9a^2 = 9S_1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{4}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 320 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный сосуду, поскольку её уровень составляет часть высоты исходного конуса.$$k=\frac{4}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{320}{V}=\left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{64}{125}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника, все двугранные углы прямые. Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…

1. 1
   Рассмотрим нижнюю часть детали как прямоугольный параллелепипед с размерами $4\times4\times1$.$$S_1=2(4\cdot4+4\cdot1+4\cdot1)=48$$
2. 2
   Верхняя часть имеет размеры $2\times2\times1$. Её нижняя грань соприкасается с нижней частью и в площадь поверхности не входит. Поэтому добавляем верхнюю грань площадью $2\cdot2$ и четыре боковые грани общей площадью…$$S_2=2\cdot2+8=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Переливание воды в цилиндр

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 20$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в полтора раза меньше…

1. 1
   Объём воды при переливании сохраняется.$$V_1 = V_2$$
2. 2
   Радиус второго сосуда в полтора раза меньше радиуса первого.$$r_2 = \dfrac{2}{3}r_1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Рёбра усечённого куба

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

1. 1
   После отпиливания каждой вершины центральная часть каждого исходного ребра куба остаётся одним ребром. Поэтому сохраняется $12$ рёбер.$$12$$
2. 2
   У куба $8$ вершин. При отпиливании каждой вершины образуется треугольная грань с тремя рёбрами. Эти рёбра являются новыми.$$8 \cdot 3 = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно $2\sqrt{11}$.

1. 1
   В правильной четырёхугольной пирамиде высота проходит через центр квадратного основания. Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту пирамиды:$$h=\sqrt{(2\sqrt{11})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{44-8}=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндрического бака

Высота бака цилиндрической формы равна 60 см, а площадь его основания равна 150 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h$$
2. 2
   Вычислим объём в кубических сантиметрах:$$V = 150 \cdot 60 = 9000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара и диаметр

Однородный шар диаметром 2 см весит 16 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам.
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра. Диаметр увеличился в $\frac{4}{2}=2$ раза:$$\frac{V_2}{V_1}=2^3=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 3$, $AC = 18$ и $AD = 7$.

1. 1
   Три ребра, выходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны. Поэтому объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим известные длины рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 18 \cdot 7 = 63$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 70 см × 20 см × 60 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.$$V = abc$$
2. 2
   Вычислим объём аквариума в кубических сантиметрах.$$V = 70 \cdot 20 \cdot 60 = 84000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы квадратных призм

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в полтора раза ниже второй, а вторая в два раза шире первой. Во сколько раз объём первой…

1. 1
   Объём правильной четырёхугольной призмы равен произведению площади квадратного основания на высоту: $V=a^2h$.$$V=a^2h$$
2. 2
   Пусть сторона основания и высота второй коробки равны $a$ и $h$. Тогда для первой коробки сторона основания равна $\dfrac{a}{2}$, а высота — $\dfrac{2h}{3}$.$$V_1=\left(\frac{a}{2}\right)^2\cdot\frac{2h}{3}$$

Ещё 2 шага — в полном решении