Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, стоящего на основании, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   При полном погружении детали уровень воды увеличивается на объём детали.$$V_{\text{дет}} = (1{,}4 - 1) \cdot 5 = 0{,}4 \cdot 5 = 2\ \text{л}$$
2. 2
   Переведём объём детали в кубические сантиметры.$$2 \cdot 1000 = 2000\ \text{см}^3$$

Площадь боковой поверхности пирамиды

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 40, боковое ребро равно 101. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Боковая грань пирамиды — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 101 и основанием 40. Высота этой грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{101^2 - 20^2} = \sqrt{10201 - 400} = \sqrt{9801} = 99$$
2. 2
   Площадь одной боковой грани равна:$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 99 = 1980$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндрического бака

Высота бака цилиндрической формы равна 50 см, а площадь его основания равна 160 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Подставим значения площади основания и высоты:$$V = 160 \cdot 50 = 8000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уровень воды в цилиндре

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 90$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания втрое больше, чем у…

1. 1
   Объём воды при переливании сохраняется. Объём цилиндра равен:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Пусть радиус первого сосуда равен $r$, а уровень воды во втором сосуде — $h_2$. Радиус второго сосуда равен $3r$.$$\pi r^2 \cdot 90 = \pi (3r)^2 \cdot h_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что…

1. 1
   В цилиндрическом баке площадь основания постоянна, поэтому объём воды пропорционален высоте уровня.$$V_2 = 1{,}2V_1$$
2. 2
   Найдём объём воды после погружения детали:$$V_2 = 1{,}2 \cdot 5 = 6\ \text{л}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 5 см весит 875 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому отношение их масс равно отношению объёмов.$$m_2 = m_1\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$
2. 2
   Подставим известные значения диаметров и массы первого шара:$$m_2 = 875\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = 875\cdot\dfrac{8}{125}=56$$

Высота копии пирамиды

Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота 147 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 23 см. Найдите…

1. 1
   Переведём размеры оригинальной пирамиды в сантиметры: $230\ \text{м}=23000\ \text{см}$, $147\ \text{м}=14700\ \text{см}$.
2. 2
   Коэффициент подобия копии и оригинала равен отношению сторон оснований:$$k=\frac{23}{23000}=\frac{1}{1000}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 4 см весит 256 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как объёмы. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$m \sim d^3$$
2. 2
   Находим массу шара диаметром 5 см:$$m_2 = 256 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^3 = 256 \cdot \frac{125}{64} = 500$$

Объём пирамиды с треугольным основанием

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $4$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $5\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h=SA=5\sqrt{3}$$
2. 2
   Площадь правильного треугольника со стороной $4$ равна:$$S_{ABC}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём вытесненной жидкости

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 20 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 20^2 = 400\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рёбра многогранника в кубе

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с меньшим числом вершин?

1. 1
   По рисунку меньший многогранник имеет шесть вершин: три вершины исходного куба и три точки пересечения секущей плоскости с рёбрами куба.$$V = 6$$
2. 2
   У этого многогранника пять граней: две треугольные и три четырёхугольные.$$F = 5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь поверхности многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…

1. 1
   Поверхность детали состоит из прямоугольных граней. Для каждой грани используем формулу площади прямоугольника $S=ab$.
2. 2
   По размерам на рисунке определяем стороны всех внешних граней, включая поверхности верхней и нижней частей выемки, и складываем их площади.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы цилиндрических кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Вторая кружка втрое шире первой, значит её радиус втрое больше, поэтому площадь основания больше в $3^2 = 9$ раз.$$\frac{r_2^2}{r_1^2} = 3^2 = 9$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 5, а гипотенуза равна $5\sqrt{2}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2=(5\sqrt{2})^2-5^2=50-25=25,\quad b=5$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot5=12{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём ступенчатой детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Разобьём деталь на два прямоугольных параллелепипеда. Нижняя часть имеет длину $3$ см, глубину $3$ см и высоту $3 - 1 = 2$ см.$$V_1 = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$$
2. 2
   Верхняя часть имеет длину $3$ см, глубину $1$ см и высоту $1$ см.$$V_2 = 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{5}$ высоты. Объём сосуда равен $250$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму меньшего конуса, подобного сосуду. Коэффициент подобия по высоте равен $\dfrac{2}{5}$.$$k=\dfrac{2}{5}$$
2. 2
   Объём подобного конуса пропорционален кубу коэффициента подобия.$$V_{\text{жидкости}}=250\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,3 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   После погружения детали объём воды увеличился в 1,3 раза. Найдём новый объём воды:$$V_2 = 10 \cdot 1{,}3 = 13\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен увеличению объёма воды:$$V_{\text{детали}} = V_2 - V_1 = 13 - 10 = 3\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24, боковое ребро равно 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами 37 и основанием 24. Высота грани делит основание пополам.$$h=\sqrt{37^2-\left(\frac{24}{2}\right)^2}=\sqrt{1369-144}=35$$
2. 2
   Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1=\frac{1}{2}\cdot24\cdot35=420$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число рёбер многогранника

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с меньшим числом вершин?

1. 1
   Плоскость через точки $A$, $B$ и $C$ образует треугольное сечение тетраэдра и разделяет его на два многогранника.
2. 2
   Многогранник с меньшим числом вершин имеет 4 вершины, то есть является тетраэдром.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали по подъёму жидкости

В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 80 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   Полностью погружённая деталь вытесняет объём жидкости, равный объёму самой детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
2. 2
   Объём вытесненной жидкости равен объёму цилиндра с площадью основания $80\ \text{см}^2$ и высотой $15\ \text{см}$:$$V = S h = 80 \cdot 15 = 1200\ \text{см}^3$$