Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 9, а объём параллелепипеда равен 450. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{450}{10 \cdot 9} = 5$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $3$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABC A_1B_1C_1$.
- 1
Основанием призмы является равносторонний треугольник со стороной $3$.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 4\sqrt{3} = 27$$
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 90 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный объёму детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
- 2
Площадь квадратного основания бака равна:$$S_{\text{осн}} = 90^2 = 8100\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен 120 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает часть сосуда в форме меньшего конуса, подобного исходному. Его высота и радиус основания в 2 раза меньше.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объём подобных тел изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$V_{\text{жидкости}}=120\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=15$$
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной 6, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $4\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
- 1
Так как боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, оно является высотой пирамиды:$$h=SA=4\sqrt{3}$$
- 2
Основание — равносторонний треугольник со стороной 6. Его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 20 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 20 \cdot 20 = 400\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму цилиндра, налито 4 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…
- 1
После погружения детали объём воды вместе с деталью стал в 1,5 раза больше начального объёма воды.$$V_{\text{итог}} = 1{,}5 \cdot 4 = 6\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен увеличению объёма содержимого бака.$$V_{\text{дет}} = 6 - 4 = 2\ \text{л}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость образует конус, подобный сосуду. Отношение их высот равно $\dfrac{2}{3}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого отношения.$$\dfrac{V_{\text{жидк}}}{V_{\text{полн}}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}$$
- 2
Найдём полный объём сосуда по известному объёму жидкости.$$V_{\text{полн}}=60\cdot\dfrac{27}{8}=202.5\ \text{мл}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму цилиндра, налито 15 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…
- 1
Найдём объём воды после погружения детали:$$V_2 = 15 \cdot 1{,}2 = 18\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен увеличению объёма воды:$$V_{\text{дет}} = 18 - 15 = 3\ \text{л}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
- 2
Площадь квадратного основания бака равна:$$S = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{2}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует конус, подобный сосуду. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k=\frac{2}{5}$$
- 2
Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия:$$\frac{80}{V}=\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{8}{125}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $6$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $6\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
- 1
Поскольку $SA$ перпендикулярно основанию, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h=SA=6\sqrt{3}$$
- 2
Основание — правильный треугольник со стороной $6$, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1 : 2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой…
- 1
Точка делит высоту от вершины в отношении $1 : 2$, поэтому высота отсечённого конуса составляет одну треть высоты исходного.$$k = \frac{h}{H} = \frac{1}{3}$$
- 2
Основания и высоты конусов пропорциональны, поэтому конусы подобны с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$.$$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{больш}}} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $\sqrt{65}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(\sqrt{65})^2-4^2}=\sqrt{65-16}=7$$
- 2
Площадь основания призмы равна площади прямоугольного треугольника:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot7=14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 30 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
Основание бака — квадрат со стороной 30 см, поэтому его площадь равна:$$S = 30^2 = 900\ \text{см}^2$$
- 2
При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный произведению площади основания бака на повышение уровня жидкости:$$V = S \cdot h = 900 \cdot 10 = 9000\ \text{см}^3$$
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 20$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Объём воды при переливании сохраняется и равен произведению площади основания на высоту слоя воды.$$V = S h$$
- 2
Если сторону квадратного основания уменьшить вдвое, площадь основания уменьшится в четыре раза.$$S_2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 S_1 = \dfrac{S_1}{4}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $3$, $5$ и $\sqrt{34}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAA_1$ на боковой грани. По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$AA_1^2=DA_1^2-DA^2=34-3^2=25$$
- 2
Следовательно, высота параллелепипеда равна:$$AA_1=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника, все двугранные углы прямые. Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…
- 1
Разобьём деталь на нижний прямоугольный параллелепипед и верхнюю часть, расположенную над задней частью детали.
- 2
Объём нижней части равен:$$V_1 = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 40 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 60 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…
- 1
При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
- 2
Вытесненная жидкость имеет форму цилиндрического слоя с площадью основания 60 квадратных сантиметров и высотой 10 см.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении