Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 90$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в полтора раза больше…
- 1
Объём воды при переливании сохраняется. Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Пусть радиус нового сосуда равен $R = 1{,}5r$, а уровень воды в нём — $H$. Приравняем объёмы воды:$$\pi r^2 \cdot 90 = \pi (1{,}5r)^2 \cdot H$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
К правильной шестиугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную шестиугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько граней у…
- 1
Правильная шестиугольная призма имеет 6 боковых граней и 2 шестиугольных основания.
- 2
Правильная шестиугольная пирамида имеет 6 треугольных боковых граней и 1 шестиугольное основание.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{34}$.
- 1
Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=6^2=36$$
- 2
Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 160$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Объём воды сохраняется при переливании. Для призмы объём равен произведению площади основания на высоту.$$V = S h$$
- 2
Основание сосуда имеет форму квадрата. При увеличении его стороны в 2 раза площадь основания увеличивается в $4$ раза.$$S_2 = (2a)^2 = 4a^2 = 4S_1$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника. Все двугранные углы прямые. Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…
- 1
Рассмотрим деталь как прямоугольный параллелепипед размерами $4$ см, $5$ см и $1$ см, из которого вырезан прямоугольный параллелепипед размерами $2$ см, $2$ см и $1$ см.$$V = V_{\text{большого}} - V_{\text{выреза}}$$
- 2
Вычислим объём большого параллелепипеда.$$V_{\text{большого}} = 4 \cdot 5 \cdot 1 = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает конус, подобный всему сосуду, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$ по линейным размерам.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объём малого конуса составляет куб коэффициента подобия от объёма полного конуса.$$V_{\text{жидкости}}=V_{\text{сосуда}}\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}V_{\text{сосуда}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{67}$.
- 1
Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, поэтому его площадь равна:$$S = 6^2 = 36$$
- 2
Расстояние от центра квадратного основания до его вершины равно половине диагонали квадрата:$$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 10$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Пусть сторона основания первого сосуда равна $a$. Тогда площадь его квадратного основания равна:$$S_1 = a^2$$
- 2
Сторона основания второго сосуда равна $\frac{a}{3}$, поэтому площадь его основания:$$S_2 = \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{a^2}{9}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка вчетверо выше второй, а вторая в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём второй коробки…
- 1
Пусть сторона квадратного основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $4a$, а её высота — $h/4$.$$V_1=a^2h,\quad V_2=(4a)^2\cdot\frac{h}{4}$$
- 2
Найдём, во сколько раз объём второй коробки больше объёма первой:$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{(4a)^2\cdot\frac{h}{4}}{a^2h}=\frac{16}{4}=4$$
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 5, а объём параллелепипеда равен 30. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$1 \cdot 5 \cdot c = 30$$
- 2
Находим длину третьего ребра:$$c = \frac{30}{1 \cdot 5} = 6$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 2,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…
- 1
После погружения детали объём, занятый водой вместе с деталью, стал равен:$$2{,}4 \cdot 5 = 12\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен разности нового объёма и первоначального объёма воды:$$V_{\text{дет}} = 12 - 5 = 7\ \text{л}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:3$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой…
- 1
Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает конус, подобный исходному.$$k=\frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}}$$
- 2
Точка делит высоту в отношении $1:3$ от вершины, поэтому высота малого конуса составляет одну четверть высоты исходного.$$k=\frac{1}{1+3}=\frac14$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 90 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
- 2
Вытесненная жидкость имеет форму цилиндра с площадью основания 90 квадратных сантиметров и высотой 10 сантиметров.$$V = S h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Однородный шар диаметром 4 см весит 192 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 6 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам.$$m \sim V$$
- 2
Объём шара пропорционален кубу диаметра, поэтому масса второго шара равна:$$m_2=m_1\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3=192\left(\dfrac{6}{4}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 60 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…
- 1
Поскольку деталь полностью погружена в жидкость, её объём равен объёму вытесненной жидкости.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 60 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 60^2 = 3600\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость имеет форму конуса, подобного полному сосуду, с линейным размером, равным половине высоты полного конуса.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия. Поэтому объём жидкости составляет одну восьмую объёма сосуда.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10, боковое ребро равно 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Рассмотрим одну боковую грань. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 13 и основанием 10.
- 2
Высота боковой грани делит её основание пополам, поэтому по теореме Пифагора она равна:$$h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с бо́льшим числом рёбер?
- 1
Плоскость через точки $A$, $B$ и $C$ делит куб на два многогранника. Граница сечения является новой гранью каждого из них.
- 2
Подсчётом граней по рисунку получаем: у одного многогранника 5 граней, у другого — 7 граней. Многогранник с большим числом граней имеет и большее число рёбер.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $32\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$32\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Площадь квадратного основания бака равна:$$S_{\text{осн}} = 20 \cdot 20 = 400\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении