В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 190 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает часть конуса, подобную всему сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет восьмую часть объёма сосуда.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 180 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает малый конус, подобный полному сосуду. Коэффициент подобия по длинам равен $\dfrac{2}{3}$.$$k = \dfrac{2}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициентов подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 11 и 5. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.
- 1
Площадь основания призмы — площадь прямоугольного треугольника с катетами 11 и 5:$$S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 11 \cdot 5 = 27{,}5$$
- 2
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 27{,}5 \cdot 4 = 110$$
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $6$, $6$ и $3\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$ на боковой грани.$$BC_1^2=BC^2+CC_1^2$$
- 2
Найдём высоту параллелепипеда:$$CC_1=\sqrt{(3\sqrt{5})^2-6^2}=\sqrt{45-36}=3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 15. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от оси на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Одна его сторона равна образующей цилиндра, то есть 15.
- 2
Другая сторона является хордой основания цилиндра. Половина хорды, расстояние от центра до хорды и радиус образуют прямоугольный треугольник.$$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + 24^2 = 25^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $60\ \text{см} \times 20\ \text{см} \times 50\ \text{см}$. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических…
- 1
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений.$$V = abc$$
- 2
Найдём объём аквариума в кубических сантиметрах:$$V = 60 \cdot 20 \cdot 50 = 60000\ \text{см}^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{6}$ высоты. Объём сосуда равен $1620$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует малый конус, подобный исходному конусу. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k = \dfrac{1}{6}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3=\dfrac{1}{216}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 10$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое меньше, чем у…
- 1
Объём воды сохраняется при переливании. Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Пусть радиус первого сосуда равен $R$, а высота воды во втором сосуде — $H$. Радиус второго сосуда равен $\dfrac{R}{2}$.$$\pi R^2 \cdot 10 = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 H$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h$$
- 2
Площадь квадратного основания бака равна:$$S_{\text{осн}} = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует конус, подобный сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер (в сантиметрах). Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте…
- 1
Поверхность детали состоит из трёх пар равных прямоугольников со сторонами $3$ и $4$, $3$ и $6$, $4$ и $6$ сантиметров.$$S = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 6)$$
- 2
Вычислим площадь поверхности.$$S = 2(12 + 18 + 24) = 108$$
В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 80 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Подставим площадь основания бака и величину подъёма уровня жидкости:$$V_{\text{детали}} = 80 \cdot 10 = 800\ \text{см}^3$$
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…
- 1
Вид детали сверху представляет собой квадрат со стороной 6 см с квадратной выемкой со стороной 2 см.$$S_{\text{гор}} = 6 \cdot 6 - 2 \cdot 2 = 32$$
- 2
Площадь верхней и нижней горизонтальных граней равна:$$S_{\text{верх+низ}} = 2 \cdot 32 = 64$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 30 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…
- 1
Объём детали равен объёму жидкости, вытесненной при её полном погружении.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
- 2
Основание бака является квадратом со стороной 30 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 30^2 = 900\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $\sqrt{29}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 6.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b=\sqrt{(\sqrt{29})^2-2^2}=\sqrt{29-4}=5$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot5=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямолинейный участок трубы длиной 3 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Красить нужно только боковую поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину трубы.$$S = C \cdot h$$
- 2
Переведём длину трубы в сантиметры.$$3\ \text{м} = 300\ \text{см}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{82}$.
- 1
Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, поэтому расстояние от его центра до вершины квадрата равно половине диагонали:$$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$
- 2
Высота пирамиды, боковое ребро и отрезок от центра основания до вершины основания образуют прямоугольный треугольник:$$h^2 + (3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{82})^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен 640 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает меньший конус, высота которого в два раза меньше высоты сосуда. Поэтому коэффициент подобия малого конуса и сосуда равен $\frac{1}{2}$.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 14, боковое ребро равно 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Боковая грань пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 25, 25 и основанием 14. Его высота делит основание пополам.$$h = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = 24$$
- 2
Площадь одной боковой грани равна:$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 168$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Высота бака цилиндрической формы равна 40 см, а площадь его основания равна 150 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.
- 1
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Подставим значения: объём бака равен 6000 кубических сантиметров.$$V = 150 \cdot 40 = 6000\ \text{см}^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении