Решение: Объём правильной пирамиды

ЕГЭ · Математика, база · Задание 11 · Стереометрия

ПовышеннаяФИПИ70E9DDКороткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{82}$.

Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.

Решение по шагам

4 шага

Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, поэтому расстояние от его центра до вершины квадрата равно половине диагонали:

$$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Высота пирамиды, боковое ребро и отрезок от центра основания до вершины основания образуют прямоугольный треугольник:

$$h^2 + (3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{82})^2$$

Находим высоту пирамиды:

$$h^2 = 82 - 18 = 64,\quad h = 8$$

Площадь квадратного основания равна $6^2 = 36$. Объём пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}}h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96$$

Ответ

так ответ выглядит в бланке

Забывают, что высота пирамиды перпендикулярна основанию и не равна боковому ребру.

Используют расстояние от центра квадрата до середины стороны вместо расстояния до вершины.

Закрепить приёмВ теме «Стереометрия» ещё 616 задач — с ответом и таким же разбором.