Высота бака цилиндрической формы равна 50 см, а площадь его основания равна 140 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.
- 1
Объём цилиндрического бака равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Подставим значения площади основания и высоты.$$V = 140 \cdot 50 = 7000\ \text{см}^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с бо́льшим числом граней?
- 1
Плоскость сечения проходит через точки $A$, $B$ и $C$, поэтому на границе каждого из получившихся многогранников появляется треугольник $ABC$. Точки $A$, $B$ и $C$ являются новыми вершинами.
- 2
Один из многогранников содержит одну исходную вершину тетраэдра, а другой — три исходные вершины. Многогранник с тремя исходными вершинами имеет больше граней.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с большим числом вершин?
- 1
После рассечения призмы рассматриваем многогранник с большим числом вершин. По рисунку у него 8 вершин и 6 граней.$$V=8,\quad F=6$$
- 2
Применяем формулу Эйлера для выпуклого многогранника.$$V-E+F=2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая — втрое шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Пусть радиус первой кружки равен $r$, а её высота — $h$. Тогда радиус второй кружки в три раза больше, а высота в $4{,}5$ раза меньше:$$r_2 = 3r_1, \quad h_2 = \dfrac{h_1}{4{,}5}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $960$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает часть сосуда, имеющую форму конуса, подобного полному конусу. Все линейные размеры малого конуса в $2$ раза меньше соответствующих размеров сосуда.$$k=\dfrac{1}{2}$$
- 2
Объём подобных тел изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$V_{\text{жидкости}}=V_{\text{сосуда}}\cdot k^3=960\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…
- 1
Поверхность многогранника состоит из прямоугольных граней, поэтому разобьём её на группы граней с одинаковыми размерами.$$S = \sum ab$$
- 2
Подставляя длины рёбер, указанные на рисунке, и складывая площади всех внешних граней, получаем:$$S = 146\ \text{см}^2$$
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре раза выше второй, а вторая — в полтора раза уже первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Первая кружка в четыре раза выше второй, поэтому $\dfrac{h_1}{h_2}=4$. Вторая кружка в $1{,}5$ раза уже первой, значит $\dfrac{r_1}{r_2}=1{,}5$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 15 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает часть сосуда в форме конуса, подобного исходному конусу. Все линейные размеры этой части в 2 раза меньше.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре раза выше второй, а вторая в полтора раза уже первой. Во сколько раз объём второй…
- 1
Пусть сторона основания второй коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания первой коробки равна $1{,}5a$, а её высота — $4h$.
- 2
Найдём отношение объёма первой коробки к объёму второй.$$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{(1{,}5a)^2\cdot 4h}{a^2h}=1{,}5^2\cdot 4=9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 160 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость и весь сосуд имеют форму подобных конусов. Коэффициент подобия по линейным размерам равен отношению высот:$$k = \dfrac{4}{5}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{4}{5}\right)^3 = \dfrac{64}{125}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Однородный шар диаметром 3 см весит 108 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Так как шары изготовлены из одного материала, их массы относятся как их объёмы. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$m \sim d^3$$
- 2
Составим отношение масс и подставим известные значения.$$m_2 = 108 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 108 \cdot \frac{8}{27} = 32$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 100 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует конус, подобный сосуду. Так как высота жидкости в 2 раза меньше высоты сосуда, коэффициент подобия равен $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных фигур относятся как кубы коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Ящик, имеющий форму куба с ребром 20 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
- 1
У куба без одной грани нужно покрасить пять квадратных граней.$$6 - 1 = 5$$
- 2
Площадь одной грани со стороной 20 см равна:$$20^2 = 400\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает меньший конус, подобный сосуду. Так как уровень жидкости составляет $\frac{1}{3}$ высоты сосуда, коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость имеет форму меньшего конуса, подобного сосуду. Коэффициент подобия по длинам равен:$$k = \dfrac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника? Невидимые рёбра на рисунке не изображены.
- 1
Треугольная призма имеет две треугольные грани, поэтому всего у неё 6 вершин.
- 2
В каждой вершине призмы сходятся три ребра. При отпиливании вершины на её месте образуется треугольная грань с тремя новыми вершинами.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 2$, $AC = 15$ и $AD = 13$.
- 1
Три ребра, выходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны, поэтому объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot 15 \cdot 13 = 65$$
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 45$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Объём воды сохраняется. Площадь квадратного основания нового сосуда в $9$ раз больше, так как его сторона втрое больше.$$S_2 = (3a)^2 = 9a^2 = 9S_1$$
- 2
При неизменном объёме высота столба воды уменьшается в 9 раз.$$h_2 = \dfrac{h_1}{9} = \dfrac{45}{9} = 5$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 110 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает нижнюю часть сосуда, которая является конусом, подобным всему сосуду. Линейный коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет одну двадцать седьмую объёма сосуда.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $5$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольную грань $DAA_1D_1$. По теореме Пифагора найдём третье ребро $AA_1$:$$AA_1^2 = DA_1^2 - DA^2 = (\sqrt{29})^2 - 5^2 = 29 - 25 = 4$$
- 2
Следовательно, $AA_1 = 2$. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = DA \cdot DC \cdot AA_1 = 5 \cdot 5 \cdot 2 = 50$$