В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 20 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость образует конус, подобный сосуду. Линейный коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет одну восьмую объёма сосуда.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…
- 1
После погружения детали объём, занимаемый водой и деталью, увеличился в 1,6 раза:$$V_\text{общ} = 10 \cdot 1{,}6 = 16\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен разности общего объёма после погружения и первоначального объёма воды:$$V_\text{детали} = 16 - 10 = 6\ \text{л}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Однородный шар диаметром 5 см весит 500 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как объёмы.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{V_2}{V_1}$$
- 2
Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$\dfrac{V_2}{V_1}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 40$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у…
- 1
Объём воды сохраняется при переливании.$$V_1 = V_2$$
- 2
Пусть радиус первого сосуда равен $r$, а высота воды во втором сосуде — $h_2$. Тогда$$\pi r^2 \cdot 40 = \pi (2r)^2 \cdot h_2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость имеет форму конуса, подобного сосуду. Отношение их высот равно $\dfrac{2}{7}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого отношения.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{2}{7}\right)^3$$
- 2
Найдём объём всего сосуда.$$V_{\text{сосуда}}=40\cdot\left(\frac{7}{2}\right)^3=40\cdot\frac{343}{8}=1715\text{ мл}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4 и 3, а объём параллелепипеда равен 180. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма прямоугольного параллелепипеда:$$4 \cdot 3 \cdot c = 180$$
- 2
Найдём третье ребро:$$c = \dfrac{180}{4 \cdot 3} = 15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна $\sqrt{34}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 6.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2=(\sqrt{34})^2-3^2=34-9=25,\quad b=5$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=7{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{4}$ высоты. Объём жидкости равен 100 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость имеет форму малого конуса, подобного всему сосуду. Линейные размеры малого конуса в 4 раза меньше.$$k=\dfrac{1}{4}$$
- 2
Объём малого конуса составляет куб линейного коэффициента от объёма всего сосуда.$$V_{\text{жидкости}}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^3V_{\text{сосуда}}=\dfrac{1}{64}V_{\text{сосуда}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 120$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Объём воды при переливании не изменяется. Основание сосуда имеет форму квадрата.
- 2
Сторона основания нового сосуда вдвое больше, поэтому площадь основания увеличивается в $2^2 = 4$ раза.$$S_2 = 4S_1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Пирамида Снофру имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 22 см. Найдите…
- 1
Переведём длину стороны основания оригинала в сантиметры: $220\ \text{м} = 22000\ \text{см}$.
- 2
Копия уменьшена по линейным размерам в $\dfrac{22000}{22}=1000$ раз.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной 4, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $3\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
- 1
Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h = SA = 3\sqrt{3}$$
- 2
Основание — правильный треугольник со стороной 4. Его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 13 и 4. Найдите объём призмы, если её высота равна 5.
- 1
Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами 13 и 4. Найдём его площадь.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{13 \cdot 4}{2} = 26$$
- 2
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h = 26 \cdot 5 = 130$$
Однородный шар диаметром 5 см весит 250 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 7 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного и того же материала, поэтому их массы относятся как объёмы.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{V_2}{V_1}$$
- 2
Объём шара пропорционален кубу диаметра, поэтому$$\dfrac{m_2}{250}=\left(\dfrac{7}{5}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая втрое уже первой. Во сколько раз объём первой…
- 1
Пусть сторона квадратного основания первой коробки равна $a$, а второй — $\dfrac{a}{3}$. Тогда отношение площадей оснований:$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a^2}{(a/3)^2}=9$$
- 2
Первая коробка в $4{,}5$ раза ниже второй, поэтому отношение высот равно:$$\frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{4{,}5}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 80$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в два раза больше, чем…
- 1
Объём воды при переливании сохраняется. Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Пусть радиус первого сосуда равен $r$, а высота воды в нём — $80$ см. Радиус второго сосуда равен $2r$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{4}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает малый конус, подобный полному конусу. Все его линейные размеры в $4$ раза меньше, поэтому объём в $4^3=64$ раза меньше.$$V_{\text{жидкости}}=\dfrac{1}{64}V_{\text{сосуда}}$$
- 2
Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=80\cdot64=5120\ \text{мл}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Двускатную крышу дома, имеющего в основании прямоугольник (см. рис.), необходимо полностью покрыть рубероидом. Высота крыши равна 4 м, длины стен дома равны 6 м и 8 м. Найдите, сколько рубероида (в…
- 1
Рассмотрим поперечное сечение крыши. Половина ширины дома равна $6 : 2 = 3$ м. Длина ската находится по теореме Пифагора:$$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \text{м}$$
- 2
Каждый скат является прямоугольником со сторонами $8$ м и $5$ м. Площадь двух скатов:$$S = 2 \cdot 8 \cdot 5 = 80\ \text{м}^2$$
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер (в сантиметрах). Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте…
- 1
Разобьём деталь на нижний прямоугольный параллелепипед с размерами $5$, $2$, $1$ и верхний прямоугольный параллелепипед с размерами $2$, $2$, $2$.
- 2
Площадь поверхности нижнего параллелепипеда равна:$$S_1=2(5\cdot2+5\cdot1+2\cdot1)=34$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…
- 1
После погружения детали объём, занимаемый водой вместе с деталью, увеличился в 1,6 раза. Поэтому объём детали составляет 0,6 начального объёма воды.$$V_\text{дет}=(1{,}6-1)\cdot 5=3\ \text{л}$$
- 2
Переведём объём детали в кубические сантиметры.$$3\cdot 1000=3000\ \text{см}^3$$
В бак, имеющий форму цилиндра, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…
- 1
После погружения детали объём воды вместе с деталью стал равен:$$10 \cdot 1{,}4 = 14\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен разности нового и первоначального объёмов:$$14 - 10 = 4\ \text{л}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении