Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 26, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси цилиндра, расположено от неё на расстоянии, равном 24. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 9.$$h=9$$
2. 2
   Половина ширины сечения находится по теореме Пифагора.$$\frac{a}{2}=\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{100}=10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Переливание воды в призму

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 90$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…

1. 1
   Объём воды в призме равен произведению площади основания на высоту.$$V = S h$$
2. 2
   Сторона квадратного основания нового сосуда в 3 раза больше, поэтому площадь его основания в $3^2 = 9$ раз больше.$$S_2 = 9S_1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём прямоугольной призмы

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка вдвое выше второй, а вторая в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём второй коробки…

1. 1
   Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $4a$, а её высота — $h/2$.$$a_2=4a,\quad h_2=\frac{h}{2}$$
2. 2
   Площади квадратных оснований равны $a^2$ и $(4a)^2=16a^2$.$$S_1=a^2,\quad S_2=(4a)^2=16a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса с вершиной внизу, уровень жидкости параллелен плоскости основания конуса и достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 50 мл. Найдите объём сосуда. Ответ…

1. 1
   Жидкость занимает малый конус, подобный исходному. Коэффициент подобия по высоте равен $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности кубического ящика

Ящик, имеющий форму куба с ребром 10 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1. 1
   У куба шесть граней, но одна грань отсутствует, поэтому покрасить нужно пять граней.
2. 2
   Площадь одной грани куба с ребром 10 см равна:$$S_1 = 10^2 = 100\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём вытесненной жидкости

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 60 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   Так как деталь полностью погружена в жидкость, её объём равен объёму жидкости, вытесненной при подъёме уровня.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 60 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 60^2 = 3600\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём ступенчатой детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Разобьём деталь на нижний и верхний прямоугольные параллелепипеды.
2. 2
   Объём нижней части равен:$$V_1 = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 2 см весит 48 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$m \sim d^3$$
2. 2
   Составим отношение масс шаров.$$m_2 = 48\left(\frac{3}{2}\right)^3 = 48 \cdot \frac{27}{8} = 162$$

Площадь боковой поверхности пирамиды

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 16, боковое ребро равно 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником со сторонами 17, 17 и 16. Высота грани делит основание 16 пополам.$$h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = 15$$
2. 2
   Площадь одной боковой грани равна:$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Грани после сечения призмы

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с меньшим числом рёбер?

1. 1
   Плоскость через точки $A$, $B$ и $C$ пересекает грани правильной треугольной призмы и образует новую грань каждого из двух многогранников.
2. 2
   При подсчёте граней у двух частей сечения учитываем боковые грани призмы, части треугольных оснований и новую грань сечения.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 4 см весит 256 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как их объёмы.$$m \sim V$$
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра, поэтому$$\frac{m_2}{m_1}=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём ступенчатой детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Разобьём деталь на нижний и верхний прямоугольные параллелепипеды.
2. 2
   Объём нижней части: длина $5$ см, ширина $3$ см, высота $1$ см.$$V_1 = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём детали в призме

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 10 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 10 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 10^2 = 100\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{5}$ высоты. Объём сосуда равен 800 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу. Их линейные размеры относятся как $1:5$.$$\frac{h}{H}=\frac{1}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{5}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их плотности одинаковы. Масса пропорциональна объёму, а объём шара пропорционален кубу диаметра.$$m \sim d^3$$
2. 2
   Найдём массу шара диаметром 2 см по отношению диаметров:$$m_2 = 162\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 162\cdot\dfrac{8}{27} = 48$$

Объёмы цилиндрических кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре раза ниже второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Первая кружка в 4 раза ниже второй, значит $h_2 = 4h_1$. Вторая кружка в 1,5 раза шире первой, поэтому $r_2 = 1{,}5r_1$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы двух кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая в три раза уже первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндрической кружки вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Вторая кружка в три раза уже первой, поэтому $r_1 = 3r_2$. Первая кружка в полтора раза ниже второй, поэтому $h_1 = \dfrac{h_2}{1{,}5}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…

1. 1
   Рассмотрим проекции детали на три взаимно перпендикулярные плоскости.
2. 2
   Площадь проекции на горизонтальную плоскость равна площади прямоугольника со сторонами $4$ см и $2$ см:$$S_1=4\cdot2=8$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{5}$ высоты. Объём сосуда равен 2000 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает часть конуса, подобную всему сосуду. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k=\dfrac{4}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{5}$ высоты. Объём сосуда равен 1500 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает конус, подобный сосуду, поскольку его высота составляет $\dfrac{4}{5}$ высоты полного конуса.$$k = \dfrac{4}{5}$$
2. 2
   Объём подобных тел изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{4}{5}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении