В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость образует конус, подобный полному сосуду. Отношение их высот равно $\dfrac{4}{7}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого отношения.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3$$
- 2
Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=80\cdot\left(\dfrac{7}{4}\right)^3=428{,}75\text{ мл}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{3}{7}$ высоты. Объём жидкости равен $270$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость образует конус, подобный полному сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{3}{7}$, поэтому объём жидкости составляет $\left(\dfrac{3}{7}\right)^3$ объёма сосуда.$$V_{\text{жидкости}}=V_{\text{сосуда}}\left(\dfrac{3}{7}\right)^3$$
- 2
Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=270\cdot\left(\dfrac{7}{3}\right)^3=3430\text{ мл}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 и 7. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.
- 1
Площадь основания призмы — площадь прямоугольного треугольника с катетами 5 и 7:$$S_{\text{осн}} = \frac{5 \cdot 7}{2} = 17{,}5$$
- 2
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V = S_{\text{осн}}h = 17{,}5 \cdot 4 = 70$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает малый конус, подобный полному сосуду. Коэффициент подобия по длинам равен $\frac{1}{3}$.$$k = \frac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет одну двадцать седьмую объёма всего сосуда.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямолинейный участок трубы длиной 5 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Переведём длину трубы в сантиметры, так как обхват дан в сантиметрах.$$5\ \text{м} = 500\ \text{см}$$
- 2
Площадь наружной поверхности без торцов равна произведению внешнего обхвата на длину трубы.$$S = 23 \cdot 500 = 11500\ \text{см}^2$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость имеет форму конуса, подобного всему сосуду. Его высота в два раза меньше высоты сосуда, поэтому коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объём подобного тела изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямолинейный участок трубы длиной 4 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи. Торцы трубы открыты, их красить не нужно. Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Окрашивается только боковая поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину трубы.$$S = C \cdot h$$
- 2
Переведём длину трубы в сантиметры:$$4\ \text{м} = 400\ \text{см}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1620$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает часть сосуда, имеющую форму меньшего конуса, подобного исходному. Все линейные размеры уменьшены в $2$ раза.$$k=\dfrac{1}{2}$$
- 2
Объём подобных тел изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$V=1620\cdot k^3=1620\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…
- 1
Поверхность детали состоит из двух равных граней площадью $5 \cdot 5$ и четырёх боковых граней площадью $5 \cdot 1$.$$S = 2 \cdot (5 \cdot 5) + 4 \cdot (5 \cdot 1)$$
- 2
Вычислим площадь всей поверхности:$$S = 50 + 20 = 70$$
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 2 и 18. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
- 1
Площадь основания призмы — площадь прямоугольного треугольника с катетами 2 и 18.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 18 = 18$$
- 2
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 18 \cdot 3 = 54$$
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и диагональ $AB_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $4$ и $\sqrt{34}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольную грань $ABB_1A_1$. По теореме Пифагора найдём её второе ребро:$$AA_1^2 = AB_1^2 - AB^2 = (\sqrt{34})^2 - 5^2 = 34 - 25 = 9$$
- 2
Следовательно, $AA_1 = 3$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1040$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает меньший конус, подобный всему сосуду. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k = \frac{h}{H} = \frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
К правильной шестиугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную шестиугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько рёбер у…
- 1
Правильная шестиугольная призма имеет 6 рёбер нижнего основания, 6 рёбер верхнего основания и 6 боковых рёбер.$$6 + 6 + 6 = 18$$
- 2
Правильная шестиугольная пирамида имеет 6 рёбер основания и 6 боковых рёбер.$$6 + 6 = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…
- 1
После погружения детали объём, занимаемый водой и деталью, стал в 1,5 раза больше первоначального объёма воды.$$V_{\text{общ}} = 12 \cdot 1{,}5 = 18\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен разности конечного и первоначального объёмов.$$V_{\text{детали}} = 18 - 12 = 6\ \text{л}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота пирамиды равна 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 110…
- 1
Переведём длину стороны основания оригинальной пирамиды в сантиметры:$$220\ \text{м}=22000\ \text{см}$$
- 2
Найдём коэффициент подобия музейной копии и оригинала:$$k=\dfrac{110}{22000}=\dfrac{1}{200}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямолинейный участок трубы длиной 2 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Красить нужно только боковую поверхность трубы. Её площадь равна произведению внешнего обхвата трубы на длину участка.$$S = C \cdot h$$
- 2
Переведём длину трубы в сантиметры.$$2\ \text{м} = 200\ \text{см}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…
- 1
Разобьём деталь на нижний прямоугольный параллелепипед и верхнюю ступеньку.
- 2
Объём нижней части равен:$$V_1 = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…
- 1
При погружении детали уровень воды увеличился в 1,2 раза, поэтому объём, занимаемый водой вместе с деталью, увеличился на $1{,}2 - 1 = 0{,}2$ от первоначального объёма воды.$$V_{\text{дет}} = 10 \cdot (1{,}2 - 1) = 2\ \text{л}$$
- 2
Переведём объём детали из литров в кубические сантиметры.$$2 \cdot 1000 = 2000\ \text{см}^3$$
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $4$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $4$. Его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{6}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 216 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость имеет форму меньшего конуса, подобного всему сосуду. Коэффициент подобия по высоте равен $\frac{6}{7}$.$$k = \frac{6}{7}$$
- 2
Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\frac{6}{7}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении