В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём сосуда равен 540 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает часть сосуда, имеющую форму конуса, подобного исходному. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k=\frac{1}{3}$$
- 2
Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия:$$V_{\text{жидкости}}=540\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=540\cdot\frac{1}{27}=20$$
Двускатную крышу дома, имеющего в основании прямоугольник (см. рис.), необходимо полностью покрыть рубероидом. Высота крыши равна 3 м, длины стен дома равны 7 м и 8 м. Найдите, сколько рубероида (в…
- 1
Половина ширины дома равна $8 : 2 = 4$ м. В поперечном сечении крыши получаем прямоугольный треугольник с катетами 3 м и 4 м.$$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \text{м}$$
- 2
Каждый скат крыши является прямоугольником со сторонами 7 м и 5 м.$$S_1 = 7 \cdot 5 = 35\ \text{м}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 20 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 20^2 = 400\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 50 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает нижнюю часть конического сосуда. Получившийся конус подобен сосуду, а его линейный размер в 2 раза меньше.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка вчетверо выше второй, а вторая — в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Пусть радиус второй кружки равен $r$, а её высота — $h$. Тогда радиус первой кружки равен $r/4$, а высота — $4h$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Радиус основания цилиндра равен 20, а его образующая равна 6. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от оси на расстояние, равное 16. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $h=6$.
- 2
Ширина прямоугольника — это хорда основания цилиндра. Половина хорды, радиус и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник:$$a=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём сосуда равен $810$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает малый конус, подобный всему сосуду. Его линейные размеры в $3$ раза меньше, поэтому коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
- 2
Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия.$$V_{\text{жидкости}}=810\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=810\cdot\frac{1}{27}=30$$
Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота пирамиды равна 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна…
- 1
Переведём длины в сантиметры: сторона основания оригинала равна $21000$ см, высота — $13600$ см.$$210\ \text{м}=21000\ \text{см},\quad 136\ \text{м}=13600\ \text{см}$$
- 2
Копия и оригинал подобны, поэтому коэффициент подобия равен отношению сторон оснований.$$k=\dfrac{105}{21000}=\dfrac{1}{200}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $2$, $3$ и $2\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
На боковой грани $BCC_1B_1$ диагональ $BC_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$BB_1^2 + BC^2 = BC_1^2$$
- 2
Найдём высоту параллелепипеда:$$BB_1^2=(2\sqrt{5})^2-2^2=20-4=16,\quad BB_1=4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
К кубу с ребром, равным 1, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что квадратные грани совпали. Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые…
- 1
Куб имеет 12 рёбер, а правильная четырёхугольная пирамида имеет 4 ребра основания и 4 боковых ребра, всего 8 рёбер.$$12 + 8$$
- 2
При склеивании квадратных граней четыре ребра основания пирамиды совпадают с четырьмя рёбрами верхней грани куба и не считаются дважды.$$12 + 8 - 4 = 16$$
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка вдвое выше второй, а вторая — в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Вторая кружка в 4 раза шире первой, значит её радиус в 4 раза больше. Первая кружка вдвое выше второй, поэтому высота второй кружки в 2 раза меньше.$$r_2 = 4r_1, \quad h_2 = \dfrac{h_1}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…
- 1
Разобьём деталь на два прямоугольных параллелепипеда.$$V = V_1 + V_2$$
- 2
Объём первой части равен:$$V_1 = 2 \cdot 5 \cdot 2 = 20$$
Ещё 2 шага — в полном решении
От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
- 1
У треугольной призмы 6 вершин и 9 рёбер.
- 2
При отпиливании каждой вершины образуется треугольное сечение, то есть добавляются 3 новых ребра. Всего таких сечений 6.$$6 \cdot 3 = 18$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Однородный шар диаметром 5 см весит 375 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как их объёмы. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$
- 2
Подставим известные значения.$$m_2=375\left(\dfrac{2}{5}\right)^3=375\cdot\dfrac{8}{125}=24$$
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна $7\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной 2. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot7\sqrt{3}=7$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость имеет форму конуса, подобного сосуду. Линейный размер малого конуса составляет $\dfrac{2}{7}$ линейного размера полного конуса.$$k=\dfrac{2}{7}$$
- 2
Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия, поэтому объём жидкости равен следующей доле полного объёма сосуда.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{2}{7}\right)^3$$
Ещё 2 шага — в полном решении
К кубу с ребром, равным 1, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что квадратные грани совпали. Сколько граней у получившегося многогранника?
- 1
У куба 6 граней, у правильной четырёхугольной пирамиды 5 граней: квадратное основание и 4 боковые треугольные грани.
- 2
При склеивании квадратное основание пирамиды и верхняя грань куба совпадают, поэтому обе эти грани становятся внутренними и не учитываются.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1600$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает меньший конус, подобный всему сосуду. Все его линейные размеры в два раза меньше.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{6}{7}$ высоты. Объём сосуда равен 1715 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу. Отношение их высот равно отношению соответствующих линейных размеров:$$\frac{h}{H}=\frac{6}{7}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{6}{7}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 8 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует малый конус, подобный сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен отношению высот:$$k=\frac{1}{5}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{125}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении