Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Высота прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 100 см, а ширина экрана 80 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Ширина, высота и диагональ прямоугольника образуют прямоугольный треугольник.$$h^2 + 80^2 = 100^2$$
2. 2
   Найдём квадрат высоты:$$h^2 = 100^2 - 80^2 = 10000 - 6400 = 3600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольной комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 21,2 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4 м, а длина 5,4 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Найдём площадь комнаты по результатам точных измерений.$$S = 4 \cdot 5{,}4 = 21{,}6\ \text{м}^2$$
2. 2
   Вычислим, на сколько точная площадь отличается от площади, указанной на плане.$$21{,}6 - 21{,}2 = 0{,}4\ \text{м}^2$$

Длина забора участка

Участок земли для строительства дачи имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 60 м и 40 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль реки, а три остальные стороны нужно огородить забором…

1. 1
   Сторона длиной 60 м, расположенная вдоль реки, забором не ограждается.
2. 2
   Забор нужен для другой длинной стороны и двух коротких сторон.$$L = 60 + 2 \cdot 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 40 м и 20 м. Дом, расположенный на участке, также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 9 м и 8 м. Найдите площадь…

1. 1
   Найдём площадь дачного участка:$$S_1 = 40 \cdot 20 = 800\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома:$$S_2 = 9 \cdot 8 = 72\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь первой комнаты

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $3{,}5\ \text{м} \times 3{,}5\ \text{м}$, вторая комната — $3{,}5\ \text{м} \times 5{,}5\ \text{м}$…

1. 1
   По нижней части плана найдём общую ширину квартиры: она складывается из ширины санузла и длины коридора.$$L = 2 + 11 = 13\ \text{м}$$
2. 2
   Верхняя часть состоит из кухни, первой комнаты и второй комнаты. Найдём ширину первой комнаты.$$x = 13 - 3{,}5 - 5{,}5 = 4\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина забора участка

Участок земли для строительства дачи имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 40 м и 30 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль реки, а три остальные стороны нужно обнести забором…

1. 1
   Стороны прямоугольника равны 40 м и 30 м. Большая сторона имеет длину 40 м и проходит вдоль реки, поэтому её ограждать не нужно.
2. 2
   Длина забора равна сумме трёх остальных сторон прямоугольника.$$30 + 30 + 40 = 100$$

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 2 м, а наибольшая высота $h_2$ равна…

1. 1
   Перила имеют постоянный наклон, поэтому в середине расстояния между концами их высота равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l = \dfrac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот.$$l = \dfrac{2+3}{2}=2{,}5$$

Площадь второй комнаты

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $4\ \text{м} \times 3\ \text{м}$, первая комната — $4\ \text{м} \times 5\ \text{м}$, санузел имеет…

1. 1
   По чертежу общая ширина квартиры складывается из ширины санузла и длины коридора:$$2 + 9{,}5 = 11{,}5\ \text{м}$$
2. 2
   Ширина второй комнаты равна общей ширине квартиры за вычетом ширины кухни и первой комнаты:$$11{,}5 - 3 - 5 = 3{,}5\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Ширина прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 70 см, а высота экрана 42 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ и стороны экрана образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$w^2 + 42^2 = 70^2$$
2. 2
   Найдём квадрат ширины:$$w^2 = 70^2 - 42^2 = 4900 - 1764 = 3136$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 50 м и 30 м. Дом, расположенный на участке, на плане также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 8 м и 10 м. Найдите…

1. 1
   Найдём площадь всего участка:$$S_{\text{участка}} = 50 \cdot 30 = 1500\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома:$$S_{\text{дома}} = 8 \cdot 10 = 80\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опоры горки

Вертикальный столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $3{,}2$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен посередине горки, поэтому меньший треугольник подобен всему треугольнику с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$ по основаниям.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{3{,}2}{2} = 1{,}6$$

Ширина экрана телевизора

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 87 см, а высота экрана — 60 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ экрана является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота и ширина — его катетами.$$w^2 + 60^2 = 87^2$$
2. 2
   Выразим ширину экрана:$$w = \sqrt{87^2 - 60^2} = \sqrt{7569 - 3600} = \sqrt{3969} = 63$$

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный всему сосуду. Коэффициент подобия по высоте равен $\dfrac{4}{5}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого коэффициента.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{64}{125}$$
2. 2
   По условию объём жидкости равен 80 мл, значит объём всего сосуда равен:$$V_{\text{сосуда}}=80\cdot\frac{125}{64}=156{,}25\text{ мл}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём ступенчатой детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Рассмотрим боковой профиль детали. Его можно представить как прямоугольник размером $3 \times 4$, из которого удалён прямоугольник размером $(3 - 2) \times 2$.$$S = 3 \cdot 4 - (3 - 2) \cdot 2 = 10$$
2. 2
   Полученный профиль имеет глубину $2$ см, поэтому объём детали равен произведению площади профиля на глубину.$$V = S \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и диагональ $AB_1$ боковой грани равны соответственно $4$, $7$ и $\sqrt{41}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   В грани $ABB_1A_1$ диагональ $AB_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$AB_1^2=AB^2+AA_1^2$$
2. 2
   Найдём высоту параллелепипеда:$$AA_1=\sqrt{AB_1^2-AB^2}=\sqrt{41-16}=\sqrt{25}=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной призмы

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз…

1. 1
   Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $1{,}5a$, а её высота — $\dfrac{h}{4{,}5}$.$$a_2 = 1{,}5a_1, \quad h_2 = \dfrac{h_1}{4{,}5}$$
2. 2
   Объём правильной четырёхугольной призмы равен произведению площади квадратного основания на высоту.$$V = a^2h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 4 см весит 128 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 7 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам, а объёмы шаров пропорциональны кубам диаметров.$$\frac{m_2}{m_1}=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^3$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$m_2=128\left(\frac{7}{4}\right)^3=128\cdot\frac{343}{64}=686$$

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $3\sqrt{6}$.

1. 1
   В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат со стороной 6. Расстояние от его центра до вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, отрезком $R$ и боковым ребром:$$h^2=(3\sqrt{6})^2-(3\sqrt{2})^2=54-18=36$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $2$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $5\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Найдём площадь основания — правильного треугольника со стороной $2$.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$
2. 2
   Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h = SA = 5\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вершины усечённого куба

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

1. 1
   При отпиливании всех вершин куба каждая исходная вершина исчезает. На каждом ребре куба остаются две точки — по одной около каждого из его концов.
2. 2
   У куба 12 рёбер, поэтому число вершин нового многогранника равно:$$12 \cdot 2 = 24$$