В бак, имеющий форму цилиндра, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…
- 1
После погружения детали объём, занятый водой и деталью, увеличился в 1,6 раза.$$V_{\text{вода+деталь}} = 1{,}6 \cdot 10 = 16\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен разности общего объёма после погружения и объёма воды.$$V_{\text{дет}} = 16 - 10 = 6\ \text{л}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём сосуда равен 270 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает часть сосуда в форме конуса, подобного исходному конусу. Коэффициент подобия по высоте равен:$$k = \dfrac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 9 и 2, а объём параллелепипеда равен 180. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{180}{9 \cdot 2} = 10$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 70 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 70 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 70^2 = 4900\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен 1400 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает нижнюю часть сосуда, имеющую форму конуса, подобного исходному. Все линейные размеры этого конуса в 2 раза меньше.$$k = \dfrac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 80$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Объём воды сохраняется. Поскольку основание сосуда является квадратом, при увеличении его стороны в 2 раза площадь основания увеличивается в 4 раза.$$S_2 = (2a)^2 = 4a^2 = 4S_1$$
- 2
При постоянном объёме высота воды обратно пропорциональна площади основания.$$S_1 h_1 = S_2 h_2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер (в сантиметрах). Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте…
- 1
Торцевая грань детали состоит из прямоугольника со сторонами $4$ см и $3$ см и дополнительного квадрата со стороной $1$ см.$$S_{\text{торц}} = 4 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 13$$
- 2
Периметр торцевой грани равен периметру прямоугольника $4 \times 3$, увеличенному на две вертикальные стороны выступа длиной $1$ см.$$P = 2(4 + 3) + 2 \cdot 1 = 16$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
Так как бак имеет форму правильной четырёхугольной призмы, его основание — квадрат со стороной 40 см. Найдём площадь основания:$$S = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$
- 2
Объём детали равен объёму жидкости, вытесненному при подъёме уровня на 10 см:$$V = S \cdot h = 1600 \cdot 10 = 16000\ \text{см}^3$$
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 40$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Пусть сторона основания первого сосуда равна $a$. Тогда площадь его основания равна $a^2$, а объём воды:$$V = a^2 \cdot 40$$
- 2
Сторона основания второго сосуда вдвое больше, поэтому площадь его основания в 4 раза больше и равна $4a^2$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V=\pi r^2h$$
- 2
Пусть радиус первой кружки равен $r$, тогда радиус второй кружки равен $1{,}5r$. Высота первой кружки в $4{,}5$ раза больше высоты второй.$$\frac{h_1}{h_2}=4{,}5,\quad \frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{1{,}5}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $\sqrt{13}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 5.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b=\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=\sqrt{13-4}=3$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника — основания призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3=3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 180$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Объём воды сохраняется при переливании из одного сосуда в другой.$$V_1 = V_2$$
- 2
Основание сосуда имеет форму квадрата. При увеличении его стороны в 3 раза площадь основания увеличивается в $3^2 = 9$ раз.$$S_2 = 9S_1$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 7, а объём параллелепипеда равен 420. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{420}{10 \cdot 7} = 6$$
- 2
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(10 \cdot 7 + 10 \cdot 6 + 7 \cdot 6) = 2(70 + 60 + 42) = 344$$
К правильной треугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную треугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося…
- 1
Правильная треугольная призма имеет два треугольных основания и три боковые грани, всего 5 граней.$$2 + 3 = 5$$
- 2
Правильная треугольная пирамида имеет одно треугольное основание и три боковые грани, всего 4 грани.$$1 + 3 = 4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Однородный шар диаметром 2 см весит 48 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как объёмы, а объёмы шаров — как кубы диаметров.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$
- 2
Подставим известные значения:$$m_2=48\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=48\cdot\dfrac{27}{8}=162$$
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 5, а высота пирамиды равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Площадь основания пирамиды — площадь равностороннего треугольника со стороной 5.$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй кружки меньше объёма первой?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Первая кружка выше второй в $4{,}5$ раза, а радиус второй кружки в $1{,}5$ раза больше радиуса первой. Поэтому:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{h_1}{h_2} \cdot \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2 = 4{,}5 \cdot \left(\dfrac{1}{1{,}5}\right)^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
- 2
Площадь квадратного основания бака равна:$$S_{\text{осн}} = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 60$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у…
- 1
Объём воды при переливании сохраняется. Обозначим новый уровень воды через $H$.$$V_1 = V_2$$
- 2
Приравняем объёмы воды в двух цилиндрах. Радиус второго сосуда равен $2r$.$$\pi r^2 \cdot 60 = \pi (2r)^2 \cdot H$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает малый конус, подобный сосуду. Все линейные размеры малого конуса в 5 раз меньше соответствующих размеров сосуда.$$k = \dfrac{1}{5}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{1}{5}\right)^3 = \dfrac{1}{125}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении