Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно $\sqrt{17}$.

1. 1
   Основание пирамиды — квадрат со стороной 4, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 4^2 = 16$$
2. 2
   Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали квадрата:$$R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 6 см весит 432 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 7 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам.$$m \sim V$$
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра, поэтому отношение масс равно кубу отношения диаметров.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса подобных шаров

Однородный шар диаметром 2 см весит 56 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам.$$m \sim V$$
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра. Диаметр увеличился в два раза:$$\frac{V_2}{V_1}=\left(\frac{4}{2}\right)^3=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   После погружения детали объём воды вместе с объёмом погружённой детали соответствует увеличению уровня в 1,4 раза. Поэтому объём воды после погружения равен:$$V_2 = 1{,}4 \cdot 5 = 7\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен разности объёма после погружения и первоначального объёма воды:$$V_{\text{дет}} = 7 - 5 = 2\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 5 см весит 375 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам. Объёмы шаров пропорциональны кубам их диаметров.$$m_2=m_1\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^3$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$m_2=375\left(\frac{4}{5}\right)^3=375\cdot\frac{64}{125}=192$$

Объём конуса с жидкостью

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 35 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k = \dfrac{h}{H} = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{43}$.

1. 1
   Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, поэтому расстояние от его центра до вершины равно половине диагонали квадрата.$$R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и отрезком от центра основания до вершины квадрата.$$h^2+(3\sqrt{2})^2=(\sqrt{43})^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 70 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   Поскольку деталь полностью погружена в жидкость, её объём равен объёму вытесненной жидкости.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
2. 2
   Объём вытесненной жидкости равен площади основания бака, умноженной на повышение уровня жидкости.$$V = S h = 70 \cdot 10 = 700\ \text{см}^3$$

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной воды равен объёму детали.$$V_{\text{дет}} = V_1 - V_0$$
2. 2
   Конечный объём воды в баке в 1,6 раза больше начального.$$V_1 = 1{,}6 \cdot 5 = 8\ \text{л}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Рёбра составного многогранника

К правильной треугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную треугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько рёбер у получившегося…

1. 1
   У треугольной призмы два треугольных основания и три боковых ребра, поэтому всего 9 рёбер.$$3+3+3=9$$
2. 2
   У треугольной пирамиды 3 ребра основания и 3 боковых ребра, всего 6 рёбер.$$3+3=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рёбра многогранника после сечения

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с бо́льшим числом вершин?

1. 1
   Плоскость проходит через точки $A$, $B$ и $C$, лежащие на трёх рёбрах тетраэдра, выходящих из одной вершины. Эта вершина отсекается.
2. 2
   В большем многограннике остаются 3 исходные вершины тетраэдра и появляются 3 вершины сечения, то есть всего $V=6$ вершин.

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…

1. 1
   После погружения детали объём, занимаемый водой вместе с деталью, стал в $1{,}4$ раза больше первоначального объёма воды.$$V_1 = 1{,}4 \cdot 5 = 7\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен увеличению объёма, занятого водой.$$V_{\text{дет}} = 7 - 5 = 2\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали в призме

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 80 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 80 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 80^2 = 6400\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Грани многогранника после сечения

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с большим числом рёбер?

1. 1
   Плоскость через точки $A$, $B$ и $C$ создаёт треугольное сечение тетраэдра. Этот треугольник становится новой гранью у каждого из двух получившихся многогранников.
2. 2
   Подсчитаем грани двух частей по рисунку: у одной части 4 грани, а у другой — 5 граней.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $4$, а высота этой призмы равна $2\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABC A_1B_1C_1$.

1. 1
   Основанием призмы является правильный треугольник со стороной $4$.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 24$$

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 2$, $AC = 15$ и $AD = 11$.

1. 1
   Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим известные значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot 15 \cdot 11 = 55$$

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 4 см весит 448 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их плотности одинаковы, а массы пропорциональны объёмам.$$m \sim V$$
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра. Поэтому отношение масс равно кубу отношения диаметров:$$\frac{m_2}{m_1}=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^3=\left(\frac{3}{4}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности трубы

Прямолинейный участок длиной 4 м трубы, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…

1. 1
   Окрашивается только боковая поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению длины внешней окружности на длину участка.$$S = C \cdot h$$
2. 2
   Переведём длину трубы из метров в сантиметры.$$h = 4\ \text{м} = 400\ \text{см}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $7$ и $\sqrt{34}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольную боковую грань $BCC_1B_1$. По теореме Пифагора найдём её второе измерение:$$BB_1 = \sqrt{BC_1^2 - BC^2} = \sqrt{34 - 5^2} = \sqrt{9} = 3$$
2. 2
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = BC \cdot BA \cdot BB_1 = 5 \cdot 7 \cdot 3 = 105$$

Объём прямоугольной призмы

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй коробки…

1. 1
   Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $2a$, а её высота — $1{,}5h$.$$V_1 = a^2h$$
2. 2
   Объём второй коробки равен:$$V_2 = (2a)^2 \cdot 1{,}5h = 4a^2 \cdot 1{,}5h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении