Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 18, а боковые рёбра равны 15. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником со сторонами 15, 15 и 18. Высота грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{15^2 - \left(\dfrac{18}{2}\right)^2} = \sqrt{225 - 81} = 12$$
2. 2
   Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 108$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали по подъёму жидкости

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 80 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму.$$V_{\text{дет}} = S_{\text{осн}}h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 80 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 80^2 = 6400\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 2, а объём параллелепипеда равен 144. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{144}{8 \cdot 2} = 9$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конического сосуда

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 20 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу сосуда. Так как уровень жидкости составляет одну треть высоты, коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
2. 2
   Объём подобных тел изменяется как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали в призме

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   При погружении детали площадь основания бака не меняется, поэтому увеличение уровня воды в 2 раза означает увеличение занятого объёма в 2 раза.$$V_{\text{вода+деталь}} = 2 \cdot 5 = 10\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен разности объёма после погружения и первоначального объёма воды.$$V_{\text{детали}} = 10 - 5 = 5\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 160 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный полному сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{2}{3}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого коэффициента.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}$$
2. 2
   Найдём объём всего сосуда.$$V_{\text{сосуда}}=160\cdot\frac{27}{8}=540\text{ мл}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 25 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу. Так как уровень жидкости достигает половины высоты, коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали в баке

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 7 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 3 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   До погружения детали объём воды равен 7 л. При неизменной площади основания увеличение уровня воды в 3 раза означает увеличение объёма до уровня воды в 3 раза.$$V_{\text{после}} = 3V_{\text{воды}}$$
2. 2
   Объём детали равен разности объёма после погружения и первоначального объёма воды.$$V_{\text{детали}} = 3 \cdot 7 - 7 = 14\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Грани усечённой призмы

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

1. 1
   Правильная пятиугольная призма имеет две пятиугольные грани и пять боковых граней, всего 7 исходных граней.$$2 + 5 = 7$$
2. 2
   У призмы по 5 вершин в каждом основании, поэтому всего 10 вершин.$$5 + 5 = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндрической кружки

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?

1. 1
   Объём цилиндрической кружки пропорционален квадрату радиуса и высоте.$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Вторая кружка вдвое шире, значит её радиус в 2 раза больше. Её высота в 1,5 раза больше.$$r_2 = 2r_1, \quad h_2 = 1{,}5h_1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндрической кружки

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая — вдвое шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Вторая кружка вдвое шире первой, значит её радиус в 2 раза больше. Первая кружка в 1,5 раза ниже второй, значит высота второй в 1,5 раза больше высоты первой.$$\frac{r_2}{r_1}=2, \quad \frac{h_2}{h_1}=1{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно $\sqrt{41}$.

1. 1
   Основание пирамиды — квадрат со стороной 8, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=8^2=64$$
2. 2
   Расстояние от центра квадрата до вершины основания равно половине диагонали квадрата:$$OC=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём цилиндрического бака

Высота бака цилиндрической формы равна 50 см, а площадь его основания равна 140 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём объём в кубических сантиметрах.$$V = 140 \cdot 50 = 7000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Переливание воды в цилиндр

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 10$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания втрое меньше, чем у…

1. 1
   Объём воды при переливании остаётся постоянным. Для цилиндра объём равен произведению площади основания на высоту.$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Радиус основания нового сосуда в 3 раза меньше, поэтому площадь его основания в 9 раз меньше.$$r_2 = \frac{r_1}{3},\quad \pi r_2^2 = \frac{1}{9}\pi r_1^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна $7\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной 2. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot7\sqrt{3}=7$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $50\ см \times 40\ см \times 40\ см$. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений.$$V = abc$$
2. 2
   Вычислим объём аквариума в кубических сантиметрах:$$V = 50 \cdot 40 \cdot 40 = 80000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 55 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного всему сосуду. Все линейные размеры этого конуса в 2 раза меньше соответствующих размеров сосуда.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной воды равен объёму детали.$$V_{\text{детали}}=V_{\text{вытесненной воды}}$$
2. 2
   Новый объём воды стал в 1,6 раза больше исходного, поэтому объём вытесненной воды равен:$$10 \cdot 1{,}6 - 10 = 6\text{ л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $2$, а высота пирамиды равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $2$. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}=3$$

Высота музейной копии пирамиды

Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 11 см. Найдите…

1. 1
   Переведём размеры оригинала в сантиметры: $220\ \text{м}=22000\ \text{см}$, $104\ \text{м}=10400\ \text{см}$.
2. 2
   Коэффициент подобия копии и оригинала равен отношению соответствующих сторон основания:$$k=\frac{11}{22000}=\frac{1}{2000}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении