Математика, база ЕГЭ — 7 909 задач

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1, а высота пирамиды равна $32\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая втрое уже первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $10$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $7\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{3}{4}$ высоты. Объём жидкости равен 270 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $2\sqrt{2}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

В треугольной пирамиде три ребра взаимно перпендикулярны, а их длины равны 4, 12 и 1. Найдите объём этой пирамиды.

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим числом граней?

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 4, а объём параллелепипеда равен 240. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

В треугольной пирамиде три ребра взаимно перпендикулярны, а их длины равны 4, 6 и 1. Найдите объём этой пирамиды.

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 8 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника? Невидимые рёбра на рисунке не изображены.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1680$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 50 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 5 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 20$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое меньше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 5 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Прямолинейный участок трубы длиной 6 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить, если внешний обхват трубы равен 14 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?