Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Обозначим через $x$ количество жильцов в квартирах с 9-й по 12-ю. Тогда в квартирах с 1-й по 8-ю живёт $16-x$ человек, а в квартирах с 13-й по 19-ю — $29-x$ человек.$$S = (16-x)+x+(29-x)=45-x$$

В первых восьми квартирах живёт не менее восьми человек, поэтому $16-x \geq 8$, откуда $x \leq 8$.$$16-x \geq 8 \Rightarrow x \leq 8$$

Пусть наименьший угол равен $x^\circ$, средний — $y^\circ$. Тогда наибольший угол равен $4x^\circ$.$$x+y+4x=360$$

Выразим средний угол через наименьший.$$y=360-5x$$

Обозначим через $A$ число жильцов в квартирах с 1-й по 5-ю, через $B$ — в квартирах с 6-й по 9-ю, через $C$ — в квартирах с 10-й по 14-ю.$$A+B=12,\quad B+C=22$$

В каждой из пяти квартир первой и третьей групп живёт от одного до трёх человек, поэтому $5\leqslant A\leqslant 15$ и $5\leqslant C\leqslant 15$.

Если палку распилить по $n$ поперечным линиям, получится $n+1$ кусок. Поэтому число линий каждого цвета на единицу меньше числа получившихся кусков.$$n = k - 1$$

Определим количество линий каждого цвета:$$8-1=7,\quad 5-1=4,\quad 17-1=16$$

Найдём сумму всех чисел в таблице как сумму чисел по столбцам.$$224+193+162=579$$

Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 20 и меньшее 23, то есть равна 21 или 22. Если строк $n$, то общая сумма удовлетворяет неравенству:$$21n\leq 579\leq 22n$$

Обозначим ширины левой и правой частей через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.

Половины периметров четырёх прямоугольников равны соответственно $a+c$, $b+c$, $a+d$ и $b+d$.

Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них принимает одно из значений $6$, $7$ или $8$.

Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=172$$

После каждого дня и ночи, кроме последнего, улитка поднимается на 1 м.

После 7 ночей улитка окажется на высоте 7 м:$$7 \cdot (2 - 1) = 7$$

Условие о любых 28 грибах означает, что груздей не может быть 28 или больше: иначе можно было бы выбрать 28 груздей без рыжика. Значит, груздей не более 27.$$G \leq 27$$

Условие о любых 24 грибах означает, что рыжиков не может быть 24 или больше: иначе можно было бы выбрать 24 рыжика без груздя. Значит, рыжиков не более 23.$$R \leq 23$$

Обозначим через $x$ суммарное число жителей в квартирах с 7-й по 9-ю.

В первых шести квартирах живёт $10-x$ человек. Так как в каждой из них не менее одного жителя, $10-x\geq 6$, откуда $x\leq 4$.$$10-x\geq 6\Rightarrow x\leq 4$$

Если место разреза находится на расстоянии $x$ от середины ленты, то разность длин получившихся частей равна $2x$.$$\Delta=2x$$

Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}}=\dfrac{15}{2}=7{,}5\text{ см}$$

Обозначим через $x$ суммарное число жителей в квартирах с 11-й по 13-ю. В первых десяти квартирах живёт $15-x$ человек. Так как в каждой из них живёт не менее одного человека, $15-x \geq 10$, поэтому $x \leq 5$.$$15-x \geq 10 \Rightarrow x \leq 5$$

В последних пяти квартирах, то есть с 14-й по 18-ю, живёт $20-x$ человек. Так как в каждой из них живёт не более трёх человек, $20-x \leq 15$, поэтому $x \geq 5$.$$20-x \leq 15 \Rightarrow x \geq 5$$

Найдём сумму четырёх чисел по формуле суммы через среднее арифметическое:$$S_4 = 4 \cdot 11 = 44$$

Найдём сумму всех пяти чисел:$$S_5 = 5 \cdot 12 = 60$$

В каждой из 4 строк имеется 4 горизонтальные пары соседних клеток, всего $4 \cdot 4 = 16$ пар.$$4 \cdot (5 - 1) = 16$$

В каждом из 5 столбцов имеется 3 вертикальные пары соседних клеток, всего $5 \cdot 3 = 15$ пар.$$5 \cdot (4 - 1) = 15$$

Пусть $x$ — загаданное натуральное число. По условию составляем уравнение.$$Ax+B-C=165$$

Числа $A$, $B$ и $C$ принимают значения 5, 6 или 7. Поэтому $B-C$ лежит в пределах от $-2$ до $2$, а число $165-B+C$ — в пределах от 163 до 167.

Обозначим ширины левой и правой частей через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.

Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке имеют вид: $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.

При разрезе на расстоянии $x$ от середины одна часть ленты длиннее другой на $2x$.

Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}}=\frac{25}{2}=12{,}5\text{ см}$$

Если бы груздей было не менее 22, то можно было бы выбрать 22 груздя без рыжиков, что противоречит условию. Значит, груздей не больше 21.$$g \leq 21$$

Если бы рыжиков было не менее 17, то можно было бы выбрать 17 рыжиков без груздей, что также противоречит условию. Значит, рыжиков не больше 16.$$r \leq 16$$

При смещении места разреза на $x$ сантиметров от середины одна часть увеличивается на $x$ см, а другая уменьшается на $x$ см. Поэтому разность длин частей равна $2x$.$$d=2x$$

Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}}=\frac{10}{2}=5$$

Пусть общее время еды равно $T$, а до обмена блюдами прошло время $t$. Скорость Маши при еде варенья обозначим через $a$. Тогда Маша съела $at$ варенья, а Медведь — $2a(T-t)$.$$at=2a(T-t)$$

Так как варенья съедено поровну, сокращаем $a$ и находим время до обмена.$$t=2(T-t),\quad 3t=2T,\quad t=\dfrac{2T}{3}$$