Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое четырёх различных натуральных чисел равно 9. Среднее арифметическое этих чисел и пятого числа равно 11. Чему равно пятое число?

1. 1
   Найдём сумму четырёх первых чисел по их среднему арифметическому.$$S_4 = 4 \cdot 9 = 36$$
2. 2
   Найдём сумму всех пяти чисел по их среднему арифметическому.$$S_5 = 5 \cdot 11 = 55$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50 км, между А и В — 40 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Дуга от В до Г, проходящая через А, имеет длину:$$40 + 35 = 75$$
2. 2
   Так как кратчайшее расстояние между В и Г равно 25 км, длина всей кольцевой дороги равна:$$75 + 25 = 100$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 3700 рублей и разностью 1600 рублей.$$a_1=3700,\quad d=1600$$
2. 2
   Найдём стоимость десятого метра.$$a_{10}=a_1+9d=3700+9\cdot1600=18100$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Итоговая отметка по оценкам

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось пять, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим число на простые множители:$$1590 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 53$$
2. 2
   Так как все отметки являются цифрами от 2 до 5, множитель $53$ должен получиться при объединении двух соседних отметок. Оставшиеся три отметки имеют произведение $30$, поэтому подходят отметки $2$, $3$ и $5$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $7 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 27 пар соседних клеток разного цвета и 21 пара соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   Посчитаем число горизонтальных пар соседних клеток: в каждой из 7 строк по 5 клеток образуется 4 пары.$$7 \cdot 4 = 28$$
2. 2
   Посчитаем число вертикальных пар: в каждом из 5 столбцов по 7 клеток образуется 6 пар.$$5 \cdot 6 = 30$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое шести различных натуральных чисел равно 8. Среднее арифметическое этих чисел и седьмого числа равно 9. Чему равно седьмое число?

1. 1
   Найдём сумму шести чисел:$$S_6 = 6 \cdot 8 = 48$$
2. 2
   Найдём сумму всех семи чисел:$$S_7 = 7 \cdot 9 = 63$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с двумя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Сосчитаем суммарное количество договоров, если учитывать каждый договор со стороны каждой страны:$$4 \cdot 2 + 6 \cdot 5 = 8 + 30 = 38$$
2. 2
   Каждый договор заключён между двумя странами, поэтому при таком подсчёте он учтён дважды.$$38 : 2 = 19$$

Партии игроков в теннис

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 10 партий, а Коля — 21. Сколько партий…

1. 1
   При такой смене игроков число партий, сыгранных игроком с наибольшим результатом, равно сумме партий, сыгранных двумя другими игроками.$$N_{\text{Коли}} = N_{\text{Миши}} + N_{\text{Лёши}}$$
2. 2
   Подставим известные данные и обозначим число партий Лёши через $x$.$$21 = 10 + x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 15 и 20. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Для четырёх частей, полученных двумя разрезами, выполняется соотношение произведений площадей на диагоналях:$$18 \cdot 20 = 15 \cdot x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь:$$x = \frac{18 \cdot 20}{15} = 24$$

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 10, 15 и 21. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Произведения площадей противоположных прямоугольников равны.$$10\cdot21=15x$$
2. 2
   Выразим искомую площадь:$$x=\frac{10\cdot21}{15}=14$$

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 40 км, между А и В — 25 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Сумма дуг АВ, ВГ и ГА равна длине кольцевой дороги:$$L = 25 + 25 + 30 = 80$$
2. 2
   Расстояние между А и Б равно половине длины кольцевой дороги, поэтому Б находится напротив А:$$AB = \frac{80}{2} = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, чтобы сумма всех чисел в первом столбце была равна 119, во втором — 125, в третьем — 133, а сумма…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице по столбцам:$$119+125+133=377$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 15 и меньшее 18. Поэтому она равна 16 или 17.

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество обменов фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 7 больших фишек, отдав 9 маленьких. До обменов у Пети было 305 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 241…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 9 фишек и получает 7, поэтому общее количество фишек уменьшается на 2.$$9 - 7 = 2$$
2. 2
   Если Петя совершил $x$ обменов, то после них фишек стало $305 - 2x$. Составим уравнение.$$305 - 2x = 241$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 6 и 10. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Если ширины вертикальных частей равны $a$ и $b$, а высоты горизонтальных частей — $c$ и $d$, то площади имеют вид $ac$, $bc$, $bd$, $ad$.$$ac \cdot bd = bc \cdot ad$$
2. 2
   Следовательно, произведения площадей прямоугольников, расположенных по диагонали, равны.$$3 \cdot 10 = 6x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средний угол трёх лучей

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 6 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…

1. 1
   Пусть наименьший угол равен $x^\circ$. Тогда наибольший угол равен $6x^\circ$, а средний — $y^\circ$.$$x+y+6x=360$$
2. 2
   Выразим средний угол:$$y=360-7x$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Количество груздей в корзине

В корзине лежит 27 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 19 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 10 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

1. 1
   Если бы груздей было не менее 19, можно было бы выбрать 19 груздей без рыжиков, что противоречит условию. Поэтому груздей не больше 18.$$G \leq 18$$
2. 2
   Если бы рыжиков было не менее 10, можно было бы выбрать 10 рыжиков без груздей, что также противоречит условию. Значит, рыжиков не больше 9.$$R \leq 9$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Найти загаданное число

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Составим уравнение, где $x$ — загаданное натуральное число:$$Ax+B-C=195$$
2. 2
   Числа $A$, $B$ и $C$ принимают значения $7$, $8$ или $9$. Проверка этих значений даёт единственное решение: $A=7$, $B=7$, $C=8$.$$7x+7-8=195$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Задача на совместную работу

Маша и Медведь съели 120 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…

1. 1
   Пусть Маша ела варенье время $a$, а печенье — время $b$. Скорость Маши при еде печенья обозначим через $r$.
2. 2
   Медведь ест в три раза быстрее Маши. Поскольку варенья они съели поровну, время, затраченное Машей на варенье, в три раза больше времени Медведя на варенье. Значит, $a=3b$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько…

1. 1
   Число линий каждого цвета на одну меньше числа получающихся кусков.$$15-1=14,\quad 5-1=4,\quad 7-1=6$$
2. 2
   Находим общее число линий, по которым нужно распилить палку.$$14+4+6=24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 7 кусков, если по жёлтым — 13 кусков, а если по зелёным — 5 кусков. Сколько…

1. 1
   Чтобы получить $n$ кусков, палку нужно распилить по $n - 1$ линиям.$$7-1=6,\quad 13-1=12,\quad 5-1=4$$
2. 2
   Всего линий трёх цветов:$$6+12+4=22$$

Ещё 1 шаг — в полном решении