Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Грани после сечения призмы

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с меньшим числом рёбер?

1. 1
   Плоскость через точки $A$, $B$ и $C$ пересекает грани правильной треугольной призмы и образует новую грань каждого из двух многогранников.
2. 2
   При подсчёте граней у двух частей сечения учитываем боковые грани призмы, части треугольных оснований и новую грань сечения.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 4 см весит 256 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как их объёмы.$$m \sim V$$
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра, поэтому$$\frac{m_2}{m_1}=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём ступенчатой детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Разобьём деталь на нижний и верхний прямоугольные параллелепипеды.
2. 2
   Объём нижней части: длина $5$ см, ширина $3$ см, высота $1$ см.$$V_1 = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём детали в призме

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 10 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 10 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 10^2 = 100\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{5}$ высоты. Объём сосуда равен 800 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу. Их линейные размеры относятся как $1:5$.$$\frac{h}{H}=\frac{1}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{5}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их плотности одинаковы. Масса пропорциональна объёму, а объём шара пропорционален кубу диаметра.$$m \sim d^3$$
2. 2
   Найдём массу шара диаметром 2 см по отношению диаметров:$$m_2 = 162\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 162\cdot\dfrac{8}{27} = 48$$

Объёмы цилиндрических кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре раза ниже второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Первая кружка в 4 раза ниже второй, значит $h_2 = 4h_1$. Вторая кружка в 1,5 раза шире первой, поэтому $r_2 = 1{,}5r_1$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы двух кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая в три раза уже первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндрической кружки вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Вторая кружка в три раза уже первой, поэтому $r_1 = 3r_2$. Первая кружка в полтора раза ниже второй, поэтому $h_1 = \dfrac{h_2}{1{,}5}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…

1. 1
   Рассмотрим проекции детали на три взаимно перпендикулярные плоскости.
2. 2
   Площадь проекции на горизонтальную плоскость равна площади прямоугольника со сторонами $4$ см и $2$ см:$$S_1=4\cdot2=8$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{5}$ высоты. Объём сосуда равен 2000 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает часть конуса, подобную всему сосуду. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k=\dfrac{4}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{5}$ высоты. Объём сосуда равен 1500 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает конус, подобный сосуду, поскольку его высота составляет $\dfrac{4}{5}$ высоты полного конуса.$$k = \dfrac{4}{5}$$
2. 2
   Объём подобных тел изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{4}{5}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндрического бака

Высота бака цилиндрической формы равна 50 см, а площадь его основания равна 140 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём цилиндрического бака равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Подставим значения площади основания и высоты.$$V = 140 \cdot 50 = 7000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вершины после сечения тетраэдра

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с бо́льшим числом граней?

1. 1
   Плоскость сечения проходит через точки $A$, $B$ и $C$, поэтому на границе каждого из получившихся многогранников появляется треугольник $ABC$. Точки $A$, $B$ и $C$ являются новыми вершинами.
2. 2
   Один из многогранников содержит одну исходную вершину тетраэдра, а другой — три исходные вершины. Многогранник с тремя исходными вершинами имеет больше граней.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рёбра многогранника призмы

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

1. 1
   После рассечения призмы рассматриваем многогранник с большим числом вершин. По рисунку у него 8 вершин и 6 граней.$$V=8,\quad F=6$$
2. 2
   Применяем формулу Эйлера для выпуклого многогранника.$$V-E+F=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы цилиндрических кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая — втрое шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Пусть радиус первой кружки равен $r$, а её высота — $h$. Тогда радиус второй кружки в три раза больше, а высота в $4{,}5$ раза меньше:$$r_2 = 3r_1, \quad h_2 = \dfrac{h_1}{4{,}5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $960$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает часть сосуда, имеющую форму конуса, подобного полному конусу. Все линейные размеры малого конуса в $2$ раза меньше соответствующих размеров сосуда.$$k=\dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Объём подобных тел изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$V_{\text{жидкости}}=V_{\text{сосуда}}\cdot k^3=960\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…

1. 1
   Поверхность многогранника состоит из прямоугольных граней, поэтому разобьём её на группы граней с одинаковыми размерами.$$S = \sum ab$$
2. 2
   Подставляя длины рёбер, указанные на рисунке, и складывая площади всех внешних граней, получаем:$$S = 146\ \text{см}^2$$

Объём цилиндрической кружки

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре раза выше второй, а вторая — в полтора раза уже первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Первая кружка в четыре раза выше второй, поэтому $\dfrac{h_1}{h_2}=4$. Вторая кружка в $1{,}5$ раза уже первой, значит $\dfrac{r_1}{r_2}=1{,}5$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 15 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает часть сосуда в форме конуса, подобного исходному конусу. Все линейные размеры этой части в 2 раза меньше.$$k = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы квадратных призм

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре раза выше второй, а вторая в полтора раза уже первой. Во сколько раз объём второй…

1. 1
   Пусть сторона основания второй коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания первой коробки равна $1{,}5a$, а её высота — $4h$.
2. 2
   Найдём отношение объёма первой коробки к объёму второй.$$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{(1{,}5a)^2\cdot 4h}{a^2h}=1{,}5^2\cdot 4=9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении