Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 160 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость и весь сосуд имеют форму подобных конусов. Коэффициент подобия по линейным размерам равен отношению высот:$$k = \dfrac{4}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{4}{5}\right)^3 = \dfrac{64}{125}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 3 см весит 108 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Так как шары изготовлены из одного материала, их массы относятся как их объёмы. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$m \sim d^3$$
2. 2
   Составим отношение масс и подставим известные значения.$$m_2 = 108 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 108 \cdot \frac{8}{27} = 32$$

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 100 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный сосуду. Так как высота жидкости в 2 раза меньше высоты сосуда, коэффициент подобия равен $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных фигур относятся как кубы коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности открытого куба

Ящик, имеющий форму куба с ребром 20 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1. 1
   У куба без одной грани нужно покрасить пять квадратных граней.$$6 - 1 = 5$$
2. 2
   Площадь одной грани со стороной 20 см равна:$$20^2 = 400\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает меньший конус, подобный сосуду. Так как уровень жидкости составляет $\frac{1}{3}$ высоты сосуда, коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму меньшего конуса, подобного сосуду. Коэффициент подобия по длинам равен:$$k = \dfrac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вершины усечённой призмы

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника? Невидимые рёбра на рисунке не изображены.

1. 1
   Треугольная призма имеет две треугольные грани, поэтому всего у неё 6 вершин.
2. 2
   В каждой вершине призмы сходятся три ребра. При отпиливании вершины на её месте образуется треугольная грань с тремя новыми вершинами.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 2$, $AC = 15$ и $AD = 13$.

1. 1
   Три ребра, выходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны, поэтому объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot 15 \cdot 13 = 65$$

Уровень воды в призме

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 45$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…

1. 1
   Объём воды сохраняется. Площадь квадратного основания нового сосуда в $9$ раз больше, так как его сторона втрое больше.$$S_2 = (3a)^2 = 9a^2 = 9S_1$$
2. 2
   При неизменном объёме высота столба воды уменьшается в 9 раз.$$h_2 = \dfrac{h_1}{9} = \dfrac{45}{9} = 5$$

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 110 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость занимает нижнюю часть сосуда, которая является конусом, подобным всему сосуду. Линейный коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет одну двадцать седьмую объёма сосуда.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $5$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольную грань $DAA_1D_1$. По теореме Пифагора найдём третье ребро $AA_1$:$$AA_1^2 = DA_1^2 - DA^2 = (\sqrt{29})^2 - 5^2 = 29 - 25 = 4$$
2. 2
   Следовательно, $AA_1 = 2$. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = DA \cdot DC \cdot AA_1 = 5 \cdot 5 \cdot 2 = 50$$

Объём детали в призме

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 70 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный её собственному объёму.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 70 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 70^2 = 4900\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 2,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   Изначальный объём воды равен 5 л. После погружения детали объём пространства до нового уровня воды стал в 2,6 раза больше.$$V_{\text{после}} = 2{,}6 \cdot 5 = 13\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен разности объёма после погружения и первоначального объёма воды.$$V_{\text{дет}} = 13 - 5 = 8\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 9 и 3, а объём параллелепипеда равен 189. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. Из формулы объёма найдём его длину:$$c = \dfrac{189}{9 \cdot 3} = 7$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по высоте

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{6}$ высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает конус, подобный исходному конусу. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\frac{1}{6}$.$$k=\frac{1}{6}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{6}\right)^3=\frac{1}{216}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности трубы

Прямолинейный участок трубы длиной 5 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…

1. 1
   Красить нужно только боковую поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину.$$S=C\cdot l$$
2. 2
   Переведём длину трубы в сантиметры и подставим значения.$$l=5\,\text{м}=500\,\text{см},\quad S=16\cdot500=8000\,\text{см}^2$$

Объём детали в призме

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 30 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 30 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 30^2 = 900\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $\sqrt{40}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника.$$b = \sqrt{(\sqrt{40})^2 - 2^2} = \sqrt{40 - 4} = 6$$
2. 2
   Вычислим площадь основания призмы.$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уровень воды в сосуде

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 20$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у…

1. 1
   Объём воды сохраняется. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Радиус нового сосуда вдвое больше, поэтому площадь его основания в четыре раза больше.$$\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём аквариума

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 60 см × 30 см × 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Вычислим объём аквариума как объём прямоугольного параллелепипеда.$$V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72000\ \text{см}^3$$
2. 2
   Переведём объём из кубических сантиметров в литры.$$72000 : 1000 = 72\ \text{л}$$