Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Объём конуса с жидкостью

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер (в сантиметрах). Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте…

1. 1
   Поверхность детали состоит из трёх пар равных прямоугольников со сторонами $3$ и $4$, $3$ и $6$, $4$ и $6$ сантиметров.$$S = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 6)$$
2. 2
   Вычислим площадь поверхности.$$S = 2(12 + 18 + 24) = 108$$

Объём детали по подъёму жидкости

В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 80 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Подставим площадь основания бака и величину подъёма уровня жидкости:$$V_{\text{детали}} = 80 \cdot 10 = 800\ \text{см}^3$$

Площадь поверхности детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…

1. 1
   Вид детали сверху представляет собой квадрат со стороной 6 см с квадратной выемкой со стороной 2 см.$$S_{\text{гор}} = 6 \cdot 6 - 2 \cdot 2 = 32$$
2. 2
   Площадь верхней и нижней горизонтальных граней равна:$$S_{\text{верх+низ}} = 2 \cdot 32 = 64$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 30 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   Объём детали равен объёму жидкости, вытесненной при её полном погружении.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
2. 2
   Основание бака является квадратом со стороной 30 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 30^2 = 900\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $\sqrt{29}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 6.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b=\sqrt{(\sqrt{29})^2-2^2}=\sqrt{29-4}=5$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot5=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности трубы

Прямолинейный участок трубы длиной 3 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…

1. 1
   Красить нужно только боковую поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину трубы.$$S = C \cdot h$$
2. 2
   Переведём длину трубы в сантиметры.$$3\ \text{м} = 300\ \text{см}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{82}$.

1. 1
   Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, поэтому расстояние от его центра до вершины квадрата равно половине диагонали:$$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$
2. 2
   Высота пирамиды, боковое ребро и отрезок от центра основания до вершины основания образуют прямоугольный треугольник:$$h^2 + (3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{82})^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен 640 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает меньший конус, высота которого в два раза меньше высоты сосуда. Поэтому коэффициент подобия малого конуса и сосуда равен $\frac{1}{2}$.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 14, боковое ребро равно 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Боковая грань пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 25, 25 и основанием 14. Его высота делит основание пополам.$$h = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = 24$$
2. 2
   Площадь одной боковой грани равна:$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 168$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндрического бака

Высота бака цилиндрической формы равна 40 см, а площадь его основания равна 150 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Подставим значения: объём бака равен 6000 кубических сантиметров.$$V = 150 \cdot 40 = 6000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали в цилиндре

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…

1. 1
   После погружения детали объём, занятый водой и деталью, увеличился в 1,6 раза.$$V_{\text{вода+деталь}} = 1{,}6 \cdot 10 = 16\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен разности общего объёма после погружения и объёма воды.$$V_{\text{дет}} = 16 - 10 = 6\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём сосуда равен 270 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает часть сосуда в форме конуса, подобного исходному конусу. Коэффициент подобия по высоте равен:$$k = \dfrac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 9 и 2, а объём параллелепипеда равен 180. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{180}{9 \cdot 2} = 10$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали по подъёму жидкости

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 70 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 70 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 70^2 = 4900\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен 1400 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает нижнюю часть сосуда, имеющую форму конуса, подобного исходному. Все линейные размеры этого конуса в 2 раза меньше.$$k = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уровень воды в призме

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 80$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…

1. 1
   Объём воды сохраняется. Поскольку основание сосуда является квадратом, при увеличении его стороны в 2 раза площадь основания увеличивается в 4 раза.$$S_2 = (2a)^2 = 4a^2 = 4S_1$$
2. 2
   При постоянном объёме высота воды обратно пропорциональна площади основания.$$S_1 h_1 = S_2 h_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер (в сантиметрах). Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте…

1. 1
   Торцевая грань детали состоит из прямоугольника со сторонами $4$ см и $3$ см и дополнительного квадрата со стороной $1$ см.$$S_{\text{торц}} = 4 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 13$$
2. 2
   Периметр торцевой грани равен периметру прямоугольника $4 \times 3$, увеличенному на две вертикальные стороны выступа длиной $1$ см.$$P = 2(4 + 3) + 2 \cdot 1 = 16$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём детали в призме

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   Так как бак имеет форму правильной четырёхугольной призмы, его основание — квадрат со стороной 40 см. Найдём площадь основания:$$S = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$
2. 2
   Объём детали равен объёму жидкости, вытесненному при подъёме уровня на 10 см:$$V = S \cdot h = 1600 \cdot 10 = 16000\ \text{см}^3$$

Высота воды в призме

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 40$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…

1. 1
   Пусть сторона основания первого сосуда равна $a$. Тогда площадь его основания равна $a^2$, а объём воды:$$V = a^2 \cdot 40$$
2. 2
   Сторона основания второго сосуда вдвое больше, поэтому площадь его основания в 4 раза больше и равна $4a^2$.

Ещё 2 шага — в полном решении