Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 5, а объём параллелепипеда равен 30. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$1 \cdot 5 \cdot c = 30$$
2. 2
   Находим длину третьего ребра:$$c = \frac{30}{1 \cdot 5} = 6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 2,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   После погружения детали объём, занятый водой вместе с деталью, стал равен:$$2{,}4 \cdot 5 = 12\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен разности нового объёма и первоначального объёма воды:$$V_{\text{дет}} = 12 - 5 = 7\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по сечению

Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:3$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой…

1. 1
   Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает конус, подобный исходному.$$k=\frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}}$$
2. 2
   Точка делит высоту в отношении $1:3$ от вершины, поэтому высота малого конуса составляет одну четверть высоты исходного.$$k=\frac{1}{1+3}=\frac14$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём вытесненной жидкости

В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 90 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
2. 2
   Вытесненная жидкость имеет форму цилиндра с площадью основания 90 квадратных сантиметров и высотой 10 сантиметров.$$V = S h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали в баке

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 60 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   Поскольку деталь полностью погружена в жидкость, её объём равен объёму вытесненной жидкости.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 60 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 60^2 = 3600\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного полному сосуду, с линейным размером, равным половине высоты полного конуса.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия. Поэтому объём жидкости составляет одну восьмую объёма сосуда.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10, боковое ребро равно 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Рассмотрим одну боковую грань. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 13 и основанием 10.
2. 2
   Высота боковой грани делит её основание пополам, поэтому по теореме Пифагора она равна:$$h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число граней после сечения куба

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с бо́льшим числом рёбер?

1. 1
   Плоскость через точки $A$, $B$ и $C$ делит куб на два многогранника. Граница сечения является новой гранью каждого из них.
2. 2
   Подсчётом граней по рисунку получаем: у одного многогранника 5 граней, у другого — 7 граней. Многогранник с большим числом граней имеет и большее число рёбер.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $32\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$32\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали по подъёму жидкости

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Площадь квадратного основания бака равна:$$S_{\text{осн}} = 20 \cdot 20 = 400\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно $\sqrt{17}$.

1. 1
   Основание пирамиды — квадрат со стороной 4, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 4^2 = 16$$
2. 2
   Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали квадрата:$$R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 6 см весит 432 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 7 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам.$$m \sim V$$
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра, поэтому отношение масс равно кубу отношения диаметров.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса подобных шаров

Однородный шар диаметром 2 см весит 56 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам.$$m \sim V$$
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра. Диаметр увеличился в два раза:$$\frac{V_2}{V_1}=\left(\frac{4}{2}\right)^3=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   После погружения детали объём воды вместе с объёмом погружённой детали соответствует увеличению уровня в 1,4 раза. Поэтому объём воды после погружения равен:$$V_2 = 1{,}4 \cdot 5 = 7\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен разности объёма после погружения и первоначального объёма воды:$$V_{\text{дет}} = 7 - 5 = 2\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 5 см весит 375 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам. Объёмы шаров пропорциональны кубам их диаметров.$$m_2=m_1\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^3$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$m_2=375\left(\frac{4}{5}\right)^3=375\cdot\frac{64}{125}=192$$

Объём конуса с жидкостью

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 35 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k = \dfrac{h}{H} = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{43}$.

1. 1
   Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, поэтому расстояние от его центра до вершины равно половине диагонали квадрата.$$R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и отрезком от центра основания до вершины квадрата.$$h^2+(3\sqrt{2})^2=(\sqrt{43})^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 70 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   Поскольку деталь полностью погружена в жидкость, её объём равен объёму вытесненной жидкости.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
2. 2
   Объём вытесненной жидкости равен площади основания бака, умноженной на повышение уровня жидкости.$$V = S h = 70 \cdot 10 = 700\ \text{см}^3$$

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной воды равен объёму детали.$$V_{\text{дет}} = V_1 - V_0$$
2. 2
   Конечный объём воды в баке в 1,6 раза больше начального.$$V_1 = 1{,}6 \cdot 5 = 8\ \text{л}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Рёбра составного многогранника

К правильной треугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную треугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько рёбер у получившегося…

1. 1
   У треугольной призмы два треугольных основания и три боковых ребра, поэтому всего 9 рёбер.$$3+3+3=9$$
2. 2
   У треугольной пирамиды 3 ребра основания и 3 боковых ребра, всего 6 рёбер.$$3+3=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении