Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{2}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный сосуду. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k=\frac{2}{5}$$
2. 2
   Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия:$$\frac{80}{V}=\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{8}{125}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $6$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $6\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Поскольку $SA$ перпендикулярно основанию, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h=SA=6\sqrt{3}$$
2. 2
   Основание — правильный треугольник со стороной $6$, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по сечению

Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1 : 2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой…

1. 1
   Точка делит высоту от вершины в отношении $1 : 2$, поэтому высота отсечённого конуса составляет одну треть высоты исходного.$$k = \frac{h}{H} = \frac{1}{3}$$
2. 2
   Основания и высоты конусов пропорциональны, поэтому конусы подобны с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$.$$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{больш}}} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $\sqrt{65}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(\sqrt{65})^2-4^2}=\sqrt{65-16}=7$$
2. 2
   Площадь основания призмы равна площади прямоугольного треугольника:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot7=14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали в баке

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 30 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   Основание бака — квадрат со стороной 30 см, поэтому его площадь равна:$$S = 30^2 = 900\ \text{см}^2$$
2. 2
   При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный произведению площади основания бака на повышение уровня жидкости:$$V = S \cdot h = 900 \cdot 10 = 9000\ \text{см}^3$$

Уровень воды в призме

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 20$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…

1. 1
   Объём воды при переливании сохраняется и равен произведению площади основания на высоту слоя воды.$$V = S h$$
2. 2
   Если сторону квадратного основания уменьшить вдвое, площадь основания уменьшится в четыре раза.$$S_2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 S_1 = \dfrac{S_1}{4}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $3$, $5$ и $\sqrt{34}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAA_1$ на боковой грани. По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$AA_1^2=DA_1^2-DA^2=34-3^2=25$$
2. 2
   Следовательно, высота параллелепипеда равна:$$AA_1=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём ступенчатой детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника, все двугранные углы прямые. Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Разобьём деталь на нижний прямоугольный параллелепипед и верхнюю часть, расположенную над задней частью детали.
2. 2
   Объём нижней части равен:$$V_1 = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём детали по подъёму жидкости

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 40 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали по подъёму жидкости

В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 60 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
2. 2
   Вытесненная жидкость имеет форму цилиндрического слоя с площадью основания 60 квадратных сантиметров и высотой 10 см.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 18, а боковые рёбра равны 15. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником со сторонами 15, 15 и 18. Высота грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{15^2 - \left(\dfrac{18}{2}\right)^2} = \sqrt{225 - 81} = 12$$
2. 2
   Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 108$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали по подъёму жидкости

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 80 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму.$$V_{\text{дет}} = S_{\text{осн}}h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 80 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 80^2 = 6400\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 2, а объём параллелепипеда равен 144. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{144}{8 \cdot 2} = 9$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конического сосуда

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 20 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу сосуда. Так как уровень жидкости составляет одну треть высоты, коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
2. 2
   Объём подобных тел изменяется как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали в призме

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   При погружении детали площадь основания бака не меняется, поэтому увеличение уровня воды в 2 раза означает увеличение занятого объёма в 2 раза.$$V_{\text{вода+деталь}} = 2 \cdot 5 = 10\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен разности объёма после погружения и первоначального объёма воды.$$V_{\text{детали}} = 10 - 5 = 5\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 160 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный полному сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{2}{3}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого коэффициента.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}$$
2. 2
   Найдём объём всего сосуда.$$V_{\text{сосуда}}=160\cdot\frac{27}{8}=540\text{ мл}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 25 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу. Так как уровень жидкости достигает половины высоты, коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали в баке

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 7 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 3 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   До погружения детали объём воды равен 7 л. При неизменной площади основания увеличение уровня воды в 3 раза означает увеличение объёма до уровня воды в 3 раза.$$V_{\text{после}} = 3V_{\text{воды}}$$
2. 2
   Объём детали равен разности объёма после погружения и первоначального объёма воды.$$V_{\text{детали}} = 3 \cdot 7 - 7 = 14\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Грани усечённой призмы

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

1. 1
   Правильная пятиугольная призма имеет две пятиугольные грани и пять боковых граней, всего 7 исходных граней.$$2 + 5 = 7$$
2. 2
   У призмы по 5 вершин в каждом основании, поэтому всего 10 вершин.$$5 + 5 = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндрической кружки

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?

1. 1
   Объём цилиндрической кружки пропорционален квадрату радиуса и высоте.$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Вторая кружка вдвое шире, значит её радиус в 2 раза больше. Её высота в 1,5 раза больше.$$r_2 = 2r_1, \quad h_2 = 1{,}5h_1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении