Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Рёбра многогранника в кубе

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с меньшим числом вершин?

1. 1
   По рисунку меньший многогранник имеет шесть вершин: три вершины исходного куба и три точки пересечения секущей плоскости с рёбрами куба.$$V = 6$$
2. 2
   У этого многогранника пять граней: две треугольные и три четырёхугольные.$$F = 5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь поверхности многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…

1. 1
   Поверхность детали состоит из прямоугольных граней. Для каждой грани используем формулу площади прямоугольника $S=ab$.
2. 2
   По размерам на рисунке определяем стороны всех внешних граней, включая поверхности верхней и нижней частей выемки, и складываем их площади.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы цилиндрических кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Вторая кружка втрое шире первой, значит её радиус втрое больше, поэтому площадь основания больше в $3^2 = 9$ раз.$$\frac{r_2^2}{r_1^2} = 3^2 = 9$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 5, а гипотенуза равна $5\sqrt{2}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2=(5\sqrt{2})^2-5^2=50-25=25,\quad b=5$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot5=12{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём ступенчатой детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Разобьём деталь на два прямоугольных параллелепипеда. Нижняя часть имеет длину $3$ см, глубину $3$ см и высоту $3 - 1 = 2$ см.$$V_1 = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$$
2. 2
   Верхняя часть имеет длину $3$ см, глубину $1$ см и высоту $1$ см.$$V_2 = 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{5}$ высоты. Объём сосуда равен $250$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму меньшего конуса, подобного сосуду. Коэффициент подобия по высоте равен $\dfrac{2}{5}$.$$k=\dfrac{2}{5}$$
2. 2
   Объём подобного конуса пропорционален кубу коэффициента подобия.$$V_{\text{жидкости}}=250\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,3 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   После погружения детали объём воды увеличился в 1,3 раза. Найдём новый объём воды:$$V_2 = 10 \cdot 1{,}3 = 13\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен увеличению объёма воды:$$V_{\text{детали}} = V_2 - V_1 = 13 - 10 = 3\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24, боковое ребро равно 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами 37 и основанием 24. Высота грани делит основание пополам.$$h=\sqrt{37^2-\left(\frac{24}{2}\right)^2}=\sqrt{1369-144}=35$$
2. 2
   Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1=\frac{1}{2}\cdot24\cdot35=420$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число рёбер многогранника

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с меньшим числом вершин?

1. 1
   Плоскость через точки $A$, $B$ и $C$ образует треугольное сечение тетраэдра и разделяет его на два многогранника.
2. 2
   Многогранник с меньшим числом вершин имеет 4 вершины, то есть является тетраэдром.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали по подъёму жидкости

В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 80 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   Полностью погружённая деталь вытесняет объём жидкости, равный объёму самой детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
2. 2
   Объём вытесненной жидкости равен объёму цилиндра с площадью основания $80\ \text{см}^2$ и высотой $15\ \text{см}$:$$V = S h = 80 \cdot 15 = 1200\ \text{см}^3$$

Объём треугольной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1, а высота пирамиды равна $32\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $1$, поэтому его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндрических кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая втрое уже первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Первая кружка ниже второй в $4{,}5$ раза, поэтому $h_1 = \dfrac{h_2}{4{,}5}$. Вторая кружка втрое уже первой, значит $r_1 = 3r_2$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $10$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $7\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h=SA=7\sqrt{3}$$
2. 2
   Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $10$, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{3}{4}$ высоты. Объём жидкости равен 270 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный всему сосуду. Их линейные размеры относятся как $3:4$.$$k = \dfrac{3}{4}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = \dfrac{27}{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $2\sqrt{2}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=\sqrt{8-4}=2$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника в основании призмы равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…

1. 1
   После погружения детали объём, занимаемый водой и деталью до нового уровня, стал в 1,2 раза больше исходного объёма воды.$$V_{\text{общ}}=1{,}2\cdot 5=6\text{ л}$$
2. 2
   Объём детали равен увеличению объёма: из конечного объёма вычитаем исходный объём воды.$$V_{\text{дет}}=6-5=1\text{ л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде три ребра взаимно перпендикулярны, а их длины равны 4, 12 и 1. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Три взаимно перпендикулярных ребра являются измерениями прямоугольного тетраэдра.$$V = \dfrac{abc}{6}$$
2. 2
   Подставим длины рёбер и вычислим объём:$$V = \dfrac{4 \cdot 12 \cdot 1}{6} = 8$$

Вершины части призмы

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим числом граней?

1. 1
   Плоскость проходит через точки $A$, $B$ и $C$, поэтому сечение призмы представляет собой треугольник $ABC$.
2. 2
   У многогранника с меньшим числом граней сохраняются три вершины исходной призмы, расположенные по одну сторону от плоскости сечения.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вершины усечённой призмы

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

1. 1
   Пятиугольная призма имеет по пять вершин в каждом основании, всего 10 вершин.$$2 \cdot 5 = 10$$
2. 2
   В каждой вершине призмы сходятся три ребра. После отпиливания вершины каждое из этих рёбер заканчивается в новой вершине, поэтому одна исходная вершина заменяется тремя.$$10 \cdot 3 = 30$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 4, а объём параллелепипеда равен 240. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{240}{6 \cdot 4} = 10$$
2. 2
   Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении