Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{4}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 320 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный сосуду, поскольку её уровень составляет часть высоты исходного конуса.$$k=\frac{4}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{320}{V}=\left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{64}{125}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника, все двугранные углы прямые. Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…

1. 1
   Рассмотрим нижнюю часть детали как прямоугольный параллелепипед с размерами $4\times4\times1$.$$S_1=2(4\cdot4+4\cdot1+4\cdot1)=48$$
2. 2
   Верхняя часть имеет размеры $2\times2\times1$. Её нижняя грань соприкасается с нижней частью и в площадь поверхности не входит. Поэтому добавляем верхнюю грань площадью $2\cdot2$ и четыре боковые грани общей площадью…$$S_2=2\cdot2+8=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Переливание воды в цилиндр

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 20$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в полтора раза меньше…

1. 1
   Объём воды при переливании сохраняется.$$V_1 = V_2$$
2. 2
   Радиус второго сосуда в полтора раза меньше радиуса первого.$$r_2 = \dfrac{2}{3}r_1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Рёбра усечённого куба

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

1. 1
   После отпиливания каждой вершины центральная часть каждого исходного ребра куба остаётся одним ребром. Поэтому сохраняется $12$ рёбер.$$12$$
2. 2
   У куба $8$ вершин. При отпиливании каждой вершины образуется треугольная грань с тремя рёбрами. Эти рёбра являются новыми.$$8 \cdot 3 = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно $2\sqrt{11}$.

1. 1
   В правильной четырёхугольной пирамиде высота проходит через центр квадратного основания. Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту пирамиды:$$h=\sqrt{(2\sqrt{11})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{44-8}=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндрического бака

Высота бака цилиндрической формы равна 60 см, а площадь его основания равна 150 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h$$
2. 2
   Вычислим объём в кубических сантиметрах:$$V = 150 \cdot 60 = 9000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара и диаметр

Однородный шар диаметром 2 см весит 16 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам.
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра. Диаметр увеличился в $\frac{4}{2}=2$ раза:$$\frac{V_2}{V_1}=2^3=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 3$, $AC = 18$ и $AD = 7$.

1. 1
   Три ребра, выходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны. Поэтому объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим известные длины рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 18 \cdot 7 = 63$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 70 см × 20 см × 60 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

1. 1
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.$$V = abc$$
2. 2
   Вычислим объём аквариума в кубических сантиметрах.$$V = 70 \cdot 20 \cdot 60 = 84000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы квадратных призм

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в полтора раза ниже второй, а вторая в два раза шире первой. Во сколько раз объём первой…

1. 1
   Объём правильной четырёхугольной призмы равен произведению площади квадратного основания на высоту: $V=a^2h$.$$V=a^2h$$
2. 2
   Пусть сторона основания и высота второй коробки равны $a$ и $h$. Тогда для первой коробки сторона основания равна $\dfrac{a}{2}$, а высота — $\dfrac{2h}{3}$.$$V_1=\left(\frac{a}{2}\right)^2\cdot\frac{2h}{3}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь поверхности трубы

Прямолинейный участок трубы длиной 3 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…

1. 1
   Окрашивать нужно только боковую поверхность трубы, так как торцы открыты и красить их не требуется.$$S = C \cdot l$$
2. 2
   Переведём длину трубы в сантиметры:$$3\text{ м} = 300\text{ см}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $49\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$49\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение площадей шаров

Даны два шара с радиусами 9 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Составим отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{4\pi\cdot 9^2}{4\pi\cdot 3^2} = \left(\dfrac{9}{3}\right)^2 = 9$$

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату его радиуса.$$S = 4\pi R^2$$
2. 2
   Найдём отношение площадей шаров с радиусами 5 и 1.$$\dfrac{S_\text{б}}{S_\text{м}} = \dfrac{4\pi\cdot 5^2}{4\pi\cdot 1^2} = 25$$

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 4 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Отношение площади большего шара к площади меньшего равно квадрату отношения их радиусов:$$\frac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = 4$$

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 135. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному. Высота отсечённого конуса составляет одну треть высоты исходного конуса.$$k=\dfrac{h_1}{h}=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$V_1=V\cdot k^3=135\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=5$$

Объём пирамиды в кубе

Длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 12. На рёбрах $AB$ и $BC$ отмечены соответственно точки $K$ и $P$ — их середины. Найдите объём пирамиды $B_1BKP$.

1. 1
   Так как $K$ и $P$ — середины рёбер куба, получаем $BK=BP=\dfrac{12}{2}=6$. Рёбра $AB$ и $BC$ перпендикулярны, поэтому треугольник $BKP$ прямоугольный.$$S_{BKP}=\dfrac{1}{2}\cdot BK\cdot BP=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot6=18$$
2. 2
   Высота пирамиды $B_1BKP$ равна расстоянию от точки $B_1$ до плоскости основания $BKP$, то есть ребру куба $B_1B=12$.$$h=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Найдём отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi \cdot 3^2}{4\pi \cdot 1^2} = \frac{9}{1} = 9$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 7 и 2, а объём параллелепипеда равен 112. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$7 \cdot 2 \cdot c = 112$$
2. 2
   Находим длину третьего ребра:$$c = \frac{112}{7 \cdot 2} = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение площадей конусов

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 6, а второго — 3 и 4. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа $\pi$, радиуса основания и образующей.$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Найдём отношение площади боковой поверхности первого конуса к площади боковой поверхности второго.$$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{\pi \cdot 5 \cdot 6}{\pi \cdot 3 \cdot 4} = \dfrac{30}{12} = 2{,}5$$