ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Стереометрия» — жауаптарымен

Объём треугольной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $2$. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}=3$$

Объёмы двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 5, а второго — 3 и 2. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{6^2 \cdot 5}{3^2 \cdot 2} = \dfrac{36 \cdot 5}{9 \cdot 2} = 10$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $3$, $7$ и $3\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   На боковой грани $BCC_1B_1$ диагональ $BC_1$ и рёбра $BC$, $BB_1$ образуют прямоугольный треугольник.$$BB_1^2+BC^2=BC_1^2$$
2. 2
   Найдём высоту параллелепипеда:$$BB_1=\sqrt{(3\sqrt{5})^2-3^2}=\sqrt{45-9}=6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 7. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 20. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 7.
2. 2
   Половина ширины сечения, радиус основания и расстояние от оси до сечения образуют прямоугольный треугольник:$$x=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь боковой поверхности конусов

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 7 и 9, а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площади боковой поверхности первого конуса к площади боковой поверхности второго:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 7 \cdot 9}{\pi \cdot 2 \cdot 3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота музейной копии

Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 27,5 см. Найдите…

1. 1
   Переведём длины в сантиметры: сторона основания исходной пирамиды равна $220\text{ м}=22000\text{ см}$, её высота — $104\text{ м}=10400\text{ см}$.$$220\text{ м}=22000\text{ см},\quad 104\text{ м}=10400\text{ см}$$
2. 2
   Коэффициент подобия музейной копии и исходной пирамиды равен отношению соответствующих сторон основания.$$k=\frac{27{,}5}{22000}=\frac{1}{800}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 17, а его образующая равна 5. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 8. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 5.
2. 2
   Ширина прямоугольника — хорда основания цилиндра. Расстояние от центра основания до хорды равно 8.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $75\pi$, а его высота равна 9. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Используем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$75\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 9 = 3\pi r^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен $250$. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:4$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k=\frac{h_\text{мал}}{h}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\frac{V_\text{мал}}{250}=k^3=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{125}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота конуса по объёму

Объём конуса равен $6\pi$, а радиус его основания равен $1$. Найдите высоту конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и радиуса:$$6\pi = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot h$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём правильной треугольной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $2$, а высота этой призмы равна $5\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $2$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V = S_{\text{осн}}h = \sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3} = 15$$

Отношение площадей конусов

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 7, а второго — 6 и 7. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Найдём отношение площади боковой поверхности второго конуса к площади первого. Образующие и множитель $\pi$ сокращаются:$$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 7}{\pi \cdot 4 \cdot 7} = \dfrac{6}{4} = 1.5$$

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $3\sqrt{3}$.

1. 1
   Площадь квадратного основания со стороной 6 равна:$$S_{\text{осн}} = 6^2 = 36$$
2. 2
   Расстояние от центра основания до вершины квадрата равно половине диагонали:$$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сравнение объёмов конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 9 и 6, а второго — 6 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

1. 1
   Объём конуса равен произведению $\dfrac{1}{3}\pi r^2h$.$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёмов первого и второго конусов. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится.$$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{9^2\cdot6}{6^2\cdot3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 625. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Точка делит высоту в отношении $1:4$ от вершины, значит высота малого конуса составляет пятую часть высоты исходного.$$k=\frac{h_{\text{мал}}}{h}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$V_{\text{мал}}=625\cdot k^3=625\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{625}{125}=5$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами длиной $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами…

1. 1
   Подставим в формулу $S = 2(ab + ac + bc)$ значения $a = 2$, $b = 4$, $c = 5$.$$S = 2(2 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 5)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений и умножим её на 2.$$S = 2(8 + 10 + 20) = 2 \cdot 38 = 76$$

Объём конуса по сечению

Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1 : 2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходного конуса малый конус, подобный исходному.$$k = \frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных конусов относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{бол}}} = k^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 10, а его образующая равна 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 8. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Одна его сторона равна образующей цилиндра: $18$.
2. 2
   В основании цилиндра сечение даёт хорду окружности радиуса $10$, находящуюся на расстоянии $8$ от центра.$$\frac{a}{2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 9 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi R^2$$
2. 2
   Отношение площади поверхности большего шара к площади поверхности меньшего равно квадрату отношения их радиусов:$$\frac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \left(\frac{9}{1}\right)^2 = 81$$

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 9, а второго — 3 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площадей боковых поверхностей двух конусов:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 9}{\pi \cdot 3 \cdot 5}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде