Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $64\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$64\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 15. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 75.

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 3 \cdot 15 = 45$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h, \quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $\sqrt{65}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b = \sqrt{(\sqrt{65})^2 - 4^2} = \sqrt{65 - 16} = 7$$
2. 2
   Найдём площадь прямоугольного треугольника — основания призмы:$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 = 14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $9\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты.$$9\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $84\pi$, а его высота равна $7$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$84\pi=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot7$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 2, а второго — 4 и 9. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого. Общие множители $\dfrac{1}{3}\pi$ сократятся:$$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно 4, 3 и $4\sqrt{2}$. Найдите объём параллелепипеда.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольную грань $CDD_1C_1$. По теореме Пифагора найдём третье ребро параллелепипеда:$$DD_1 = \sqrt{CD_1^2 - CD^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 4^2} = \sqrt{32 - 16} = 4$$
2. 2
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = CD \cdot CB \cdot DD_1 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48$$

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $15\pi$, а его высота равна $5$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты.$$15\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 3, а второго — 3 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа $\pi$, радиуса основания и образующей.$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площади боковой поверхности второго конуса к площади первого.$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 3 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 3} = 3$$

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна $3\sqrt{5}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 5.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2 + 3^2 = (3\sqrt{5})^2$$
2. 2
   Вычислим длину второго катета:$$b^2 = 45 - 9 = 36,\quad b = 6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 9. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 72.

1. 1
   Вычислим площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 3 \cdot 9 = 27$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h, \quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 6, а второго — 9 и 7. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{9^2 \cdot 7}{3^2 \cdot 6} = \dfrac{567}{54} = 10.5$$

Объём правильной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4, а высота пирамиды равна $2\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной 4:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=8$$

Объём правильной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна $2\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной 6. Найдём его площадь.$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=18$$

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 6, а гипотенуза равна $\sqrt{85}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(\sqrt{85})^2-6^2}=\sqrt{85-36}=7$$
2. 2
   Вычислим площадь основания призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot7=21$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 11 и 5, а объём параллелепипеда равен 440. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{440}{11 \cdot 5} = 8$$
2. 2
   Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(11 \cdot 5 + 11 \cdot 8 + 5 \cdot 8) = 2(55 + 88 + 40) = 366$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2, 4 и 8.

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(2 \cdot 4 + 2 \cdot 8 + 4 \cdot 8)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений и умножим на 2:$$S = 2(8 + 16 + 32) = 2 \cdot 56 = 112$$

Отношение объёмов шаров

Даны два шара с радиусами 8 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{8}{1}\right)^3 = 8^3 = 512$$

Объём треугольной пирамиды

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $2$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $4\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, ребро $SA$ является высотой пирамиды.$$h = SA = 4\sqrt{3}$$
2. 2
   Основание — правильный треугольник со стороной $2$. Его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна $\sqrt{34}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2 = (\sqrt{34})^2 - 3^2 = 34 - 9 = 25,\quad b = 5$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника — основания призмы:$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении