Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $4$, $2$ и $2\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   На боковой грани $BCC_1B_1$ диагональ $BC_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $BC$ и $BB_1$.$$BB_1^2 = BC_1^2 - BC^2 = (2\sqrt{5})^2 - 4^2 = 20 - 16 = 4$$
2. 2
   Следовательно, третье ребро параллелепипеда равно:$$BB_1 = 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $1$, а высота этой призмы равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Площадь основания призмы — площадь равностороннего треугольника со стороной $1$.$$S_{\text{осн}}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V=S_{\text{осн}}h=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3\sqrt{3}=\dfrac{9}{4}=2{,}25$$

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 2 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара определяется формулой:$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Найдём отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\dfrac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \dfrac{4\pi\cdot 2^2}{4\pi\cdot 1^2} = 4$$

Отношение объёмов цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 8, а второго — 4 и 9. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Составим отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 9^2 \cdot 8}{\pi \cdot 4^2 \cdot 9}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по сечению

Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:4$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём данного конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой…

1. 1
   Отсечённый конус и данный конус подобны, так как секущая плоскость параллельна основанию.$$k=\frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{бол}}}=k^3=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{125}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $48\pi$, а его высота равна $4$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты.$$48\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 9 и 5, а объём параллелепипеда равен 540. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{540}{9 \cdot 5} = 12$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём шаров

Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Находим отношение объёмов шаров:$$\dfrac{V_\text{большего}}{V_\text{меньшего}} = \left(\dfrac{5}{1}\right)^3 = 125$$

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 40. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

1. 1
   Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному. Так как плоскость проходит через середину высоты, коэффициент подобия отсечённого конуса и исходного равен $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_1}{V} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площади второго конуса к площади первого:$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 8}{\pi \cdot 2 \cdot 4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение объёмов конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 9, а второго — 2 и 2. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Запишем отношение объёмов первого и второго конусов:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi r_1^2h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2h_2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 108. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Из отношения $1:2$, считая от вершины, следует, что высота отсечённого конуса составляет $\dfrac{1}{3}$ высоты исходного.$$k = \dfrac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$V_{\text{отр}} = 108 \cdot k^3 = 108 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = 4$$

Отношение объёмов шаров

Даны два шара с радиусами 6 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём шара радиуса 6 больше объёма шара радиуса 1:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{6}{1}\right)^3 = 216$$

Точка смены цвета конуса

Для печати на 3D-принтере двухцветного конуса используются три параметра: радиус основания, угол наклона образующей к основанию и точка смены цвета на образующей. В программу введены: радиус $3$ см…

1. 1
   Рассмотрим осевое сечение конуса. Образующая $l$, радиус основания $r=3$ см и угол $60^\circ$ образуют прямоугольный треугольник.$$\cos 60^\circ = \frac{r}{l}$$
2. 2
   Найдём длину образующей.$$l=\frac{3}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{0{,}5}=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 5, 6 и 8.

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 8 + 6 \cdot 8)$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$S = 2(30 + 40 + 48) = 2 \cdot 118 = 236$$

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 9. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 14.$$h=14$$
2. 2
   Ширина прямоугольника равна длине хорды основания, находящейся на расстоянии 9 от центра окружности радиуса 15.$$\frac{a}{2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём двух шаров

Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Находим отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_\text{б}}{V_\text{м}} = \left(\dfrac{8}{4}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Объём отсечённого конуса

Объём данного конуса равен 320. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:3$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного…

1. 1
   Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Точка делит высоту в отношении $1:3$ от вершины, значит высота отсечённого конуса составляет $\frac{1}{4}$ высоты исходного.$$k=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$V_{\text{мал}}=320\cdot k^3=320\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^3=5$$

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 8. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

1. 1
   Плоскость проходит через середину высоты и параллельна основанию, поэтому отсечённый у вершины конус подобен исходному.
2. 2
   Коэффициент подобия равен отношению высот: $k = \dfrac{1}{2}$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату его радиуса.$$S = 4\pi R^2$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего.$$\dfrac{S_\text{б}}{S_\text{м}} = \dfrac{4\pi\cdot 8^2}{4\pi\cdot 4^2} = \left(\dfrac{8}{4}\right)^2 = 4$$