Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 16. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

1. 1
   Плоскость проходит через середину высоты и параллельна основанию, поэтому отсечённый у вершины конус подобен исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{h_1}{h} = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_1}{V} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 8$, $AC = 12$ и $AD = 10$.

1. 1
   Три ребра, исходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны, поэтому объём пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим известные значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 8 \cdot 12 \cdot 10 = 160$$

Объём треугольной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $1$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — правильный треугольник со стороной $1$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4\sqrt{3}=3$$

Объём двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 6, а второго — 8 и 9. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого. Общие множители сокращаются:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1} = \dfrac{8^2 \cdot 9}{2^2 \cdot 6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по сечению

Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекáемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость проходит через точку на высоте конуса, расположенную на расстоянии одной трети высоты от вершины. Поэтому отсечённый малый конус подобен исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{V}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 10, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 8. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Основанием сечения является хорда основания цилиндра. Половина хорды находится по теореме Пифагора:$$\frac{a}{2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$$
2. 2
   Длина хорды, являющаяся шириной сечения, равна:$$a=2\cdot 6=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $9\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$9\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $96\pi$, а его высота равна $8$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты.$$96\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Отношение площадей конусов

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 7 и 9, а второго — 2 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Найдём отношение площадей боковых поверхностей двух конусов:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r_1 l_1}{\pi r_2 l_2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 3, а второго — 8 и 3. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого цилиндра?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Составим отношение объёмов второго и первого цилиндров:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot 3}{\pi \cdot 2^2 \cdot 3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 8, а второго — 8 и 9. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot 9}{\pi \cdot 2^2 \cdot 8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 2, а второго — 6 и 7. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого конуса?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Так как радиусы оснований конусов одинаковы, множители $\dfrac{1}{3}\pi r^2$ сокращаются при делении объёмов.$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{h_2}{h_1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение объёмов шаров

Даны два шара с радиусами 12 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Находим отношение объёмов шаров:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{12}{4}\right)^3 = 3^3 = 27$$

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 3$, $AC = 12$ и $AD = 7$.

1. 1
   Три ребра пирамиды, выходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны. Поэтому объём пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим известные длины рёбер и вычислим объём.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 12 \cdot 7 = 42$$

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 3$, $AC = 14$ и $AD = 8$.

1. 1
   Три ребра, исходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны. Поэтому объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим данные из условия:$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 14 \cdot 8 = 56$$

Объём цилиндра

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 7. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Отношение объёма второго цилиндра к объёму первого равно:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 7}{\pi \cdot 2^2 \cdot 6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 81. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Его высота составляет одну треть высоты исходного конуса.$$k = \frac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$V_\text{мал} = V_\text{больш} \cdot k^3 = 81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником со сторонами 10, 10 и основанием 16. Высота этой грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$$
2. 2
   Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём двух шаров

Даны два шара с радиусами 2 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём отношение объёмов шаров:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{2}{1}\right)^3 = 8$$

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 6 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего шара?

1. 1
   Площадь поверхности шара определяется формулой:$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Отношение площадей равно квадрату отношения радиусов:$$\dfrac{S_1}{S_2} = \left(\dfrac{6}{3}\right)^2 = 2^2 = 4$$