ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Теңдеулер» — жауаптарымен

Совместная работа маляров

Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 6 часов. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 больше, чем у…

1. 1
   Примем объём всей работы за 1. Производительность Сергея составляет одну шестую работы в час.$$v_С=\dfrac{1}{6}$$
2. 2
   Производительности первого и второго маляров соответственно равны:$$v_1=1{,}5\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{4},\qquad v_2=1{,}25\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{24}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 17 км. Путь из А в В занял у туриста 11 часов, из них 3 часа ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…

1. 1
   Пусть скорость туриста на подъёме равна $x$ км/ч. Тогда скорость на спуске равна $x+2$ км/ч.
2. 2
   На подъём турист затратил $11-3=8$ часов. Поэтому длина подъёма равна $8x$ км, а длина спуска — $3(x+2)$ км.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Концентрация смешанного раствора

Смешали некоторое количество 20-процентного раствора вещества с таким же количеством 16-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Пусть количество каждого раствора равно $m$. Тогда масса растворённого вещества в смеси равна $0{,}2m + 0{,}16m$, а масса смеси — $2m$.$$c = \dfrac{0{,}2m + 0{,}16m}{2m}$$
2. 2
   Вычислим концентрацию получившегося раствора.$$c = \dfrac{0{,}36m}{2m} = 0{,}18 = 18\%$$

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 7 кг 26-процентного водного раствора вещества, добавили 6 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в исходном растворе:$$m = 7 \cdot 0{,}26 = 1{,}82\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса раствора стала равна:$$M = 7 + 6 = 13\ \text{кг}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Количество вопросов в тесте

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 10. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 51 минуту…

1. 1
   Пусть в тесте $x$ вопросов. Время работы Пети равно $\dfrac{x}{8}$ часа, а время работы Вани — $\dfrac{x}{10}$ часа.
2. 2
   Переведём 51 минуту в часы: $51 : 60 = 0{,}85$ часа. По условию разность времени равна $0{,}85$ часа.$$\dfrac{x}{8} - \dfrac{x}{10} = 0{,}85$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Встреча автомобилей на маршруте

Расстояние между городами A и B равно 610 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч…

1. 1
   За первые 3 часа первый автомобиль проехал:$$50 \cdot 3 = 150\ \text{км}$$
2. 2
   К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями оставалось:$$610 - 150 = 460\ \text{км}$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Количество вопросов в тесте

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 10 вопросов теста, а Ваня — на 24. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 70 минут…

1. 1
   Пусть в тесте $x$ вопросов. Время выполнения теста Петей равно $\dfrac{x}{10}$ часа, а Ваней — $\dfrac{x}{24}$ часа.
2. 2
   Петя затратил на выполнение на 70 минут больше. Переведём это время в часы: $70$ минут $= \dfrac{7}{6}$ часа.$$\frac{x}{10} - \frac{x}{24} = \frac{7}{6}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Скорость первого автомобиля

Расстояние между городами A и B равно 780 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. Найдите…

1. 1
   До места встречи второй автомобиль проехал расстояние от города B до точки встречи:$$780 - 330 = 450\text{ км}$$
2. 2
   Найдём время движения второго автомобиля:$$t_2 = \frac{450}{90} = 5\text{ ч}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Производительность Юли

Юля и Уля, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Уля — за 120 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Юля?

1. 1
   Пусть Юля одна пропалывает грядку за $x$ минут. Тогда её производительность равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту, а производительность Ули — $\dfrac{1}{120}$ грядки в минуту.$$\frac{1}{x} + \frac{1}{120} = \frac{1}{24}$$
2. 2
   Вычтем производительность Ули из общей производительности.$$\frac{1}{x} = \frac{1}{24} - \frac{1}{120} = \frac{5-1}{120} = \frac{1}{30}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Совместная работа мастеров

Один мастер может выполнить некоторый заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

1. 1
   Первый мастер выполняет за один час $\dfrac{1}{36}$ заказа, а второй — $\dfrac{1}{12}$ заказа.$$\frac{1}{36} + \frac{1}{12}$$
2. 2
   Найдём совместную производительность мастеров.$$\frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Скорость лодки против течения

Моторная лодка прошла против течения реки 99 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1…

1. 1
   Обозначим скорость лодки в неподвижной воде через $v$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $v-1$, а по течению — $v+1$.$$v-1>0$$
2. 2
   Время движения против течения больше времени движения по течению на 2 часа.$$\frac{99}{v-1}-\frac{99}{v+1}=2$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Викторина с отрицательными баллами

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.
2. 2
   По условию о набранных очках составляем уравнение:$$7x - 12y = 70$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Рейс теплохода по реке

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 29 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в…

1. 1
   Найдём скорости теплохода по течению и против течения:$$v_{\text{по течению}}=29+1=30,\quad v_{\text{против течения}}=29-1=28$$
2. 2
   Пусть расстояние от исходного пункта до места стоянки равно $x$ км. Общее время состоит из времени движения по течению, стоянки и времени движения против течения:$$\dfrac{x}{30}+2+\dfrac{x}{28}=31$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первый час автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие два часа — со скоростью 75 км/ч, а затем два часа — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём расстояние, пройденное автомобилем на каждом участке.$$S_1 = 80 \cdot 1 = 80\ \text{км},\quad S_2 = 75 \cdot 2 = 150\ \text{км},\quad S_3 = 50 \cdot 2 = 100\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём общий путь и общее время движения.$$S_{\text{общ}} = 80 + 150 + 100 = 330\ \text{км},\quad t_{\text{общ}} = 1 + 2 + 2 = 5\ \text{ч}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 30 минут, второй — за 1 час 35 минут, а третий — за 1 час 54 минуты. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы второго и третьего насосов в минут.$$1\text{ ч }35\text{ мин}=95\text{ мин},\quad 1\text{ ч }54\text{ мин}=114\text{ мин}$$
2. 2
   Найдём общую производительность насосов.$$\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{95}+\dfrac{1}{114}=\dfrac{19}{570}+\dfrac{6}{570}+\dfrac{5}{570}=\dfrac{30}{570}=\dfrac{1}{19}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Встреча на прогулке

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 5,3 км от дома. Первый идёт со скоростью 2,5 км/ч, а второй — со скоростью 2,8 км/ч. Дойдя до опушки…

1. 1
   Пусть $x$ — расстояние от дома до места встречи. Время движения первого человека равно $\dfrac{x}{2{,}5}$ часа.
2. 2
   Второй человек проходит до опушки $5{,}3$ км и возвращается на расстояние $5{,}3-x$ км. Его общий путь до встречи равен $10{,}6-x$ км, поэтому время движения равно $\dfrac{10{,}6-x}{2{,}8}$ часа.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Рейс теплохода по реке

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 22 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в…

1. 1
   Найдём время движения теплохода без учёта стоянки:$$28 - 6 = 22\text{ ч}$$
2. 2
   Скорость теплохода по течению равна $24$ км/ч, против течения — $20$ км/ч.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 15 км. Путь из А в В занял у туриста 10 часов, из них 5 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…

1. 1
   Поскольку весь путь занял 10 часов, а спуск — 5 часов, на подъём турист затратил тоже 5 часов.$$t_{\text{подъём}} = 10 - 5 = 5$$
2. 2
   Пусть скорость на спуске равна $x$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $x - 1$ км/ч.$$v_{\text{спуск}} = x,\quad v_{\text{подъём}} = x - 1$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Скорость пешехода

Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 24 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 4 км/ч больше скорости…

1. 1
   Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна $x+4$ км/ч.
2. 2
   За 2 часа пешеход и велосипедист вместе преодолели расстояние 24 км, поэтому составим уравнение:$$2x+2(x+4)=24$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Скорость пешехода

Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 7 км/ч больше скорости…

1. 1
   Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна $x + 7$ км/ч.$$v_\text{в} = x + 7$$
2. 2
   За 2 часа пешеход и велосипедист вместе преодолели расстояние 30 км.$$2\bigl(x + (x + 7)\bigr) = 30$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде