Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Встреча велосипедистов

Расстояние между городами А и В равно 6 км. Из города А в город В выехал первый велосипедист со скоростью 12 км/ч, а через несколько минут после этого из города В в город А навстречу первому…

1. 1
   При встрече велосипедисты проехали равные расстояния, поэтому каждый проехал половину расстояния между городами:$$s = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{км}$$
2. 2
   Время движения первого велосипедиста до встречи равно:$$t_1 = \dfrac{3}{12}\ \text{ч} = 15\ \text{мин}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 28 минут, второй — за 44 минуты, а третий — за 1 час 17 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы третьего насоса в минуты:$$1\ ч\ 17\ мин = 60 + 17 = 77\ мин$$
2. 2
   Производительность трёх насосов при совместной работе равна сумме их производительностей:$$\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{44}+\dfrac{1}{77}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Стоимость бутылки кваса

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $x$ — стоимость 1 литра кваса.$$b + x = 36$$
2. 2
   Для бутылки объёмом 2 литра получаем второе уравнение.$$b + 2x = 68$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 19 км. Путь из А в В занял у туриста 5 часов, из которых 4 часа ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…

1. 1
   Пусть скорость туриста на спуске равна $x$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $x-1$ км/ч.
2. 2
   Турист шёл по спуску 4 часа, значит длина спуска равна $4x$ км. На подъём он затратил $5-4=1$ час, поэтому длина подъёма равна $x-1$ км.

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 95 км/ч, следующие два часа — со скоростью 75 км/ч, а затем один час — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего…

1. 1
   Вычислим путь, пройденный автомобилем на каждом участке.$$s_1 = 95 \cdot 2 = 190\text{ км},\quad s_2 = 75 \cdot 2 = 150\text{ км},\quad s_3 = 45 \cdot 1 = 45\text{ км}$$
2. 2
   Найдём весь пройденный путь и общее время движения.$$s = 190 + 150 + 45 = 385\text{ км},\quad t = 2 + 2 + 1 = 5\text{ ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 18 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 306 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние в одну сторону равно $S$ км. Тогда весь путь путешественника равен $2S$ км.$$S_{\text{общ}} = 2S$$
2. 2
   Время движения на яхте и самолёте соответственно равно:$$t_1 = \dfrac{S}{18},\quad t_2 = \dfrac{S}{306}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Смеси и сплавы

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 25% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20% никеля. Масса первого сплава равна 35 кг. На сколько килограммов масса…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составим уравнение для массы никеля.$$0{,}1 \cdot 35 + 0{,}25x = 0{,}2(35+x)$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём массу второго сплава.$$3{,}5 + 0{,}25x = 7 + 0{,}2x;\quad 0{,}05x = 3{,}5;\quad x = 70$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 420 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч…

1. 1
   За первые два часа первый автомобиль проехал:$$s_1 = 60 \cdot 2 = 120\ \text{км}$$
2. 2
   К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями осталось:$$420 - 120 = 300\ \text{км}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Совместная работа Поля и Оли

Поля и Оля пропалывают грядку за 14 минут, а одна Оля — за 112 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Поля?

1. 1
   Пусть $x$ — время, за которое одна Поля пропалывает грядку. Тогда производительность Поли равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту.
2. 2
   Составим уравнение для производительности совместной работы:$$\dfrac{1}{14} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{112}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 130 км/ч, а последнюю — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Пусть каждая треть пути равна $s$. Тогда весь путь равен $3s$.
2. 2
   Найдём общее время движения автомобиля:$$t = \frac{s}{30} + \frac{s}{130} + \frac{s}{60}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.
2. 2
   Составим уравнение по количеству набранных очков.$$7x - 11y = 84$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Смеси сплавов с никелем

Имеется два сплава. Первый содержит 15 % никеля, второй — 35 % никеля. Из этих двух сплавов получили сплав, содержащий 30 % никеля. Масса первого сплава равна 35 кг. На сколько килограммов масса…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составим уравнение по массе никеля.$$0{,}15 \cdot 35 + 0{,}35x = 0{,}30(35+x)$$
2. 2
   Раскроем скобки и перенесём слагаемые.$$5{,}25 + 0{,}35x = 10{,}5 + 0{,}30x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали некоторое количество 20-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 14-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося…

1. 1
   Пусть масса каждого раствора равна $m$. Масса вещества в первом растворе составляет $0{,}2m$, а во втором — $0{,}14m$.$$m_{\text{вещества}} = 0{,}2m + 0{,}14m = 0{,}34m$$
2. 2
   Масса получившегося раствора равна $2m$, поэтому его концентрация составляет:$$\dfrac{0{,}34m}{2m} \cdot 100\% = 17\%$$

Встречное движение автомобилей

Из двух городов, расстояние между которыми равно 420 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

1. 1
   Так как автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.$$v_{\text{сбл}} = 65 + 75 = 140\ \text{км/ч}$$
2. 2
   Найдём время до встречи, разделив расстояние между городами на скорость сближения.$$t = \dfrac{420}{140} = 3\ \text{ч}$$

Скорость пешехода

Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 28 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 6 км/ч больше скорости…

1. 1
   Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна $x+6$ км/ч.$$v_\text{п}=x,\quad v_\text{в}=x+6$$
2. 2
   За 2 часа пешеход и велосипедист вместе преодолели расстояние 28 км.$$2x+2(x+6)=28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 140 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Весь путь автомобиля равен:$$S_{\text{общ}} = 200 + 180 + 140 = 520\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём время движения на каждом участке и сложим его:$$t_{\text{общ}} = \dfrac{200}{60} + \dfrac{180}{90} + \dfrac{140}{120} = \dfrac{10}{3} + 2 + \dfrac{7}{6} = \dfrac{13}{2} = 6{,}5\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча на пути к опушке

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 6,3 км от дома. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3,8 км/ч. Дойдя до опушки…

1. 1
   Второй человек доходит до опушки за время$$t_1=\dfrac{6{,}3}{3{,}8}=\dfrac{63}{38}\text{ ч}$$
2. 2
   За это время первый человек проходит расстояние$$s_1=2{,}5\cdot\dfrac{6{,}3}{3{,}8}=\dfrac{315}{76}\text{ км}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 160 км — со скоростью 60 км/ч, а затем 120 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём весь пройденный путь:$$s = 140 + 160 + 120 = 420\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём общее время движения:$$t = \dfrac{140}{50} + \dfrac{160}{60} + \dfrac{120}{100} = \dfrac{14}{5} + \dfrac{8}{3} + \dfrac{6}{5} = \dfrac{20}{3}\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём общее расстояние, пройденное автомобилем:$$S = 140 + 120 + 180 = 440\ \text{км}$$
2. 2
   Вычислим время движения на каждом участке:$$t_1 = \dfrac{140}{70} = 2\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{120}{80} = 1{,}5\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{180}{120} = 1{,}5\ \text{ч}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 272 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние между пунктами равно $S$ км. Тогда весь путь составляет $2S$ км.$$S_{\text{общ}} = 2S$$
2. 2
   Время движения на яхте и самолёте соответственно равно:$$t_1 = \dfrac{S}{17},\quad t_2 = \dfrac{S}{272}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении