Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…
- 1
За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После пяти прыжков возможные координаты имеют нечётную абсолютную величину, не превосходящую $5$.$$x \in \{-5,-3,-1,1,3,5\}$$
- 2
Перечислим все различные точки, в которых кузнечик может оказаться: $-5$, $-3$, $-1$, $1$, $3$, $5$.$$6$$
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А разложим трёхчлен на множители: корни равны $-4$ и $10$. Так как коэффициент перед $x^2$ положительный, выражение не положительно между корнями.$$x^2 - 6x - 40 = (x + 4)(x - 10),\quad x \in [-4; 10]$$
- 2
Для неравенства Б корни равны $5$ и $8$. Выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2 - 13x + 40 = (x - 5)(x - 8),\quad x \in (-\infty; 5] \cup [8; +\infty)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А учитываем, что $(x-3)^2\geq 0$, а $x=2$ исключается из области определения. Дробь положительна при $x>2$, кроме точки $x=3$.$$x\in(2;3)\cup(3;+\infty)$$
- 2
Для неравенства Б произведение отрицательно между корнями $2$ и $3$.$$x\in(2;3)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из предложенных чисел. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По координатной прямой определяем значение отмеченного числа:$$m=-1{,}5$$
- 2
Вычисляем первое выражение:$$3-m=3-(-1{,}5)=4{,}5$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А точки $1$ и $6$ являются критическими. Так как множитель $(x-1)^2$ неотрицателен, произведение отрицательно при $x<6$, но точка $x=1$ исключается.$$x\in(-\infty;1)\cup(1;6)$$
- 2
Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $1$ и $6$ не входят в решение.
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел, указанных в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По координатной прямой видно, что число $m$ расположено между $1$ и $2$: $1<m<2$.$$1<m<2$$
- 2
Вычтем единицу из всех частей неравенства. Число $m-1$ находится между $0$ и $1$, поэтому ему соответствует точка $A$.$$0<m-1<1$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
А) Квадрат $(x-1)^2$ неотрицателен и не равен нулю при $x\ne1$. Произведение отрицательно при $x<4$, поэтому исключаем $x=1$:$$x\in(-\infty;1)\cup(1;4)$$
- 2
Б) Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки:$$\frac{x-1}{x-4}>0\Longrightarrow x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма больше единицы, функция $\log_2 x$ возрастает. Область определения всех неравенств: $x>0$.$$2>1$$
- 2
Для неравенства А применяем возведение в степень с основанием $2$:$$\log_2 x\ge 1\Longleftrightarrow x\ge 2^1=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Представим $0{,}5$ как $2^{-1}$. Так как основание $2>1$, сравниваем показатели:$$2^{-x+1}<2^{-1}\Rightarrow -x+1<-1\Rightarrow x>2$$
- 2
Следовательно, решением неравенства А является промежуток $(2; +\infty)$, то есть вариант 3.
Ещё 6 шагов — в полном решении
Число $m$ равно $\sqrt{3}$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
- 1
Подставим $m=\sqrt{3}$ и определим положение каждого числа.
- 2
Для пункта А: $m+1=\sqrt{3}+1\approx2{,}73$, поэтому число принадлежит отрезку $[2;3]$ — номер 2.$$m+1=\sqrt{3}+1\approx2{,}73$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А найдём корни: $x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)$. Так как коэффициент перед $x^2$ положительный, при знаке «больше или равно» берём внешние промежутки.$$x \le 4 \text{ или } x \ge 5$$
- 2
Для неравенства Б: $x^2 - 8x - 20 = (x + 2)(x - 10)$. При знаке «меньше или равно» берём промежуток между корнями.$$-2 \le x \le 10$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А представим числа как степени двойки: $0{,}5^x = 2^{-x}$ и $4 = 2^2$. Так как функция $2^t$ возрастает, получаем $-x \ge 2$, то есть $x \le -2$. Это решение 3.$$0{,}5^x \ge 4 \Longleftrightarrow 2^{-x} \ge 2^2 \Longleftrightarrow x \le -2$$
- 2
Для неравенства Б: $2^x \ge 2^2$, поэтому $x \ge 2$. Это решение 4.$$2^x \ge 4 \Longleftrightarrow 2^x \ge 2^2 \Longleftrightarrow x \ge 2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
Оценим первое выражение:$$\sqrt{10}+\sqrt{2}\approx3{,}16+1{,}41=4{,}57\in[4;5]$$
- 2
Упростим второе выражение:$$\sqrt{10}:\sqrt{2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}\approx2{,}24\in[2;3]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечено число $m = \dfrac{1}{2}$. Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.
- 1
По рисунку $m=\dfrac{1}{2}$.
- 2
Вычислим первое выражение:$$m-1=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}\in[-1;0]$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Неравенство А: основание $3>1$, поэтому функция возрастает.$$3^x\ge3^1 \Longrightarrow x\ge1$$
- 2
Неравенство Б: перепишем $3$ как $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$. Основание меньше единицы, поэтому знак меняется.$$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x\ge\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} \Longrightarrow x\le-1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Число $m$ равно $\log_2 3$. Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.
- 1
Так как $2^1<3<2^2$, то $1<\log_2 3<2$, то есть $1<m<2$.$$1<m<2$$
- 2
Прибавляя 2 и 1, получаем принадлежность первых двух чисел:$$3<m+2<4,\quad 2<m+1<3$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$: $A=-\frac{1}{2}$, $B=\frac{1}{2}$, $C=\frac{3}{2}$, $D=\frac{5}{2}$. Число $m$ равно $\log_{4}6$. Установите соответствие между указанными…
- 1
Вычислим приближённое значение логарифма: $m=\log_{4}6\approx1{,}29$.
- 2
Находим значение первого выражения: $m-2\approx1{,}29-2=-0{,}71$. Это точка $A=-\frac{1}{2}$ с учётом положения на схеме, поэтому ей соответствует выражение 1.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Разложим первый трёхчлен на множители: его корни равны $-1$ и $6$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, неравенство выполняется между корнями.$$x^2-5x-6=(x+1)(x-6),\quad x\in[-1;6]$$
- 2
Корни второго трёхчлена равны $2$ и $3$. При знаке «больше или равно» выбираем внешние промежутки.$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),\quad x\in(-\infty;2]\cup[3;+\infty)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
В неравенстве А знаменатель $(x-3)^2$ положителен при $x\ne3$. Поэтому дробь отрицательна, когда $x-5<0$, с исключением точки $x=3$.$$x<5,\ x\ne3\quad\Rightarrow\quad x<3\ или\ 3<x<5$$
- 2
В неравенстве Б представим правую часть как степень пятёрки. Так как основание $5>1$, сравниваем показатели.$$5^{-x+1}<5^{-2}\quad\Rightarrow\quad -x+1<-2\quad\Rightarrow\quad x>3$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Число $m$ равно $\log_{5}4$. Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.
- 1
Вычислим приближённое значение логарифма:$$m=\log_{5}4\approx0{,}86$$
- 2
Найдём значения выражений из правого столбца:$$-\frac{2}{m}\approx-2{,}32,\quad m^2\approx0{,}74,\quad \sqrt{m+1}\approx1{,}36,\quad 4-m\approx3{,}14$$
Ещё 2 шага — в полном решении