Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по информатике: «Системы счисления» — с ответами

Поскольку $23 \equiv 1 \pmod{22}$, значение каждого числа в 23-ричной системе счисления сравнимо с суммой его цифр по модулю 22.$$913x2125_{23} \equiv 9+1+3+x+2+1+2+5 = 23+x \equiv 1+x \pmod{22}$$

Для второго слагаемого сумма цифр равна $27+x$, поэтому его остаток по модулю 22 равен $5+x$.$$712x6911_{23} \equiv 7+1+2+x+6+9+1+1 = 27+x \equiv 5+x \pmod{22}$$

Выразим степени через основание троичной системы:$$9^8 = (3^2)^8 = 3^{16},\quad 27 = 3^3$$

Преобразуем разность младших слагаемых:$$3^5 - 3^3 = 243 - 27 = 216 = 2 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^3$$

Представим основания степеней как степени числа $6$:$$7776=6^5,\quad 1296=6^4,\quad 216=6^3,\quad 36=6^2$$

После подстановки выражение принимает вид:$$5\cdot 6^{10065}-4\cdot 6^{8060}+3\cdot 6^{6051}+4\cdot 6^{4038}-5\cdot 6^{2021}-2023$$

Перепишем выражение в виде суммы степеней числа $5$:$$25^{12} + 5^{36} - 25 = 5^{24} + 5^{36} - 5^2$$

При вычитании $5^2$ из $5^{24}$ происходит заимствование. В разрядах от $5^2$ до $5^{23}$ появляются цифры $4$, а разряд $5^{24}$ обнуляется.$$5^{36} + 5^{24} - 5^2 = 5^{36} + 4\cdot5^{23} + 4\cdot5^{22} + \dots + 4\cdot5^2$$

Преобразуем первую степень:$$25^5 = (5^2)^5 = 5^{10}$$

Запишем выражение в виде суммы степеней числа $5$:$$5^{15} + 5^{10} - 5^2$$

В записи числа $9 \cdot 11^{210} + 8 \cdot 11^{150}$ между цифрами 8 и 9 находятся разряды с номерами от 151 до 209. Все они являются нулевыми, то есть дают 59 нулей.

Так как $x > 0$, при вычитании из разряда $8 \cdot 11^{150}$ происходит заём. Младшая часть записи равна $11^{150}-x$, а её цифры являются дополнениями до 10 цифр числа $x-1$ в 11-ричной системе.

Поскольку $19 \equiv 1 \pmod{18}$, каждое число в 19-ричной системе сравнимо по модулю 18 с суммой своих цифр.

Сумма цифр выражения равна $(7+8+x+7+9+6+4+3)+(2+5+x+4+3)+(6+3+x+5)=72+3x$.

Переведём выражение из 19-ричной системы счисления в десятичную, раскрыв позиционную запись чисел.$$98x79731_{19} + 36x14_{19} = 8422621402 + 2476460x$$

Найдём остатки коэффициентов по модулю 18. Имеем $8422621402 \equiv 4 \pmod{9}$ и $2476460 \equiv 2 \pmod{9}$.$$4 + 2x \equiv 0 \pmod{9}$$

Преобразуем выражение к степеням числа $3$:$$9^8 \times 3^{20} - 3^{10} - 3 = 3^{16} \times 3^{20} - 3^{10} - 3 = 3^{36} - 3^{10} - 3$$

В троичной записи числа $3^{36} - 3^{10}$ стоят цифры $2$ на позициях от $10$ до $35$. После вычитания $3 = 3^1$ происходит заимствование: на позициях от $1$ до $9$ появляются цифры $2$, на позиции $10$ остаётся цифра $1$, а на позициях…

Представим основания степеней через $8$: $512 = 8^3$, $64 = 8^2$.$$7 \cdot 512^{19} + 64^{18} - 5 \cdot 8^{17} - 16 = 7 \cdot 8^{57} + 8^{36} - 5 \cdot 8^{17} - 16$$

Выполним вычитание и сложение в восьмеричной системе счисления, учитывая заимствования при вычитании $5 \cdot 8^{17}$ и $16$.

Преобразуем основание степени: $49 = 7^2$.$$49^{11} = (7^2)^{11} = 7^{22}$$

Перепишем исходное выражение.$$49^{11} + 7^{33} - 7 = 7^{33} + 7^{22} - 7$$

Выразим все степени через основание $27$:$$729^{75} = (27^2)^{75} = 27^{150},\quad 243^{78} = (27^{5/3})^{78} = 27^{130},\quad 81^{81} = 27^{108},\quad 9^{87} = 27^{58}$$

Число $58$ представим в системе счисления с основанием $27$: $58 = 2 \cdot 27 + 4$.$$N = 2 \cdot 27^{150} + 2 \cdot 27^{130} + 27^{108} + 2 \cdot 27^{84} + 2 \cdot 27^{58} + 2 \cdot 27^1 + 4$$

Выразим основания степеней через основание системы счисления:$$256^9=(4^4)^9=4^{36},\quad 64^{10}=(4^3)^{10}=4^{30},\quad 16^{11}=(4^2)^{11}=4^{22}$$

После подстановки получаем выражение, представленное через степени $4$:$$3\cdot4^{36}-4^{30}+2\cdot4^{22}-17$$

Заменим $49^{10}$ степенью числа 7:$$49^{10} = (7^2)^{10} = 7^{20}$$

Выражение принимает вид:$$7^{30} + 7^{20} - 7^2$$

Используем представление выражения:$$3^{100}-x=(3^{100}-1)-(x-1)$$

Число $3^{100}-1$ в троичной системе счисления записывается как сто цифр $2$. Поэтому при вычитании $x-1$ нули в результате возникают на позициях, где в троичной записи числа $x-1$ стоят цифры $2$.

Поскольку $x \leq 2300 < 7^{150}$, вычитание $x$ происходит из слагаемого $7^{150}$. Получаем запись числа как суммы старшей единицы $7^{350}$ и числа $7^{150}-x$.$$7^{350}+7^{150}-x = 7^{350} + (7^{150}-x)$$

В разрядах от $7^{349}$ до $7^{150}$ находятся нули. Всего таких разрядов 200.

Для проверки делимости на 18 используем свойство $19 \equiv 1 \pmod{18}$. Поэтому остаток каждого числа по модулю 18 равен сумме его цифр.$$348x79643_{19} \equiv 44+x \pmod{18},\quad 16x52_{19} \equiv 14+x \pmod{18},\quad 43x7_{19} \equiv 14+x \pmod{18}$$

Складываем остатки и проверяем допустимые значения цифры $x$ из диапазона от 0 до 18. Выбираем наибольшее значение, при котором выражение кратно 18.

Поскольку $19 \equiv 1 \pmod{18}$, каждое число в 19-ричной системе сравнимо по модулю 18 с суммой его цифр.

Суммы цифр трёх слагаемых равны соответственно $44+x$, $14+x$ и $14+x$. Сумма всего выражения равна $72+3x$.

Представим числа $9$ как степени основания $3$:$$9^7 + 3^{21} - 9 = 3^{14} + 3^{21} - 3^2$$

Сгруппируем слагаемые:$$3^{21} + (3^{14} - 3^2)$$

Представим число $25$ как степень пятёрки: $25 = 5^2$.$$25^{18} \times 5^{10} - 5^6 - 25 = 5^{36} \times 5^{10} - 5^6 - 5^2 = 5^{46} - 5^6 - 5^2$$

В пятеричной записи числа $5^{46} - 5^6$ стоят цифры 4 в разрядах с номерами от 6 до 45, а в разряде 46 стоит цифра 1.