Решение: Троичная запись выражения
Значение арифметического выражения $3^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $2035$, записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в троичной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно два нуля.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
Решение по шагам
4 шагаИспользуем представление выражения:
$$3^{100}-x=(3^{100}-1)-(x-1)$$Число $3^{100}-1$ в троичной системе счисления записывается как сто цифр $2$. Поэтому при вычитании $x-1$ нули в результате возникают на позициях, где в троичной записи числа $x-1$ стоят цифры $2$.
Так как требуется найти наибольшее $x$, сначала проверяем предельное значение $x=2035$. Получаем:
$$x-1=2034=2210100_3$$В записи $2210100_3$ ровно две цифры $2$, значит в записи числа $3^{100}-2035$ будет ровно два нуля. Следовательно, предельное значение подходит и является наибольшим.
Где здесь ошибаются
Проверяют количество нулей в записи самого числа $x$, а не в записи $3^{100}-x$.
Забывают заменить $x$ на $x-1$ при представлении $3^{100}-x=(3^{100}-1)-(x-1)$.
Записывают число $2034$ не в троичной, а в десятичной системе счисления.