Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по информатике: «Системы счисления» — с ответами

Чётные цифры в записи

Определите количество цифр с чётным числовым значением в 36-ричной записи числа, заданного выражением: $5 \cdot 1296^{2021} - 4 \cdot 216^{2022} + 3 \cdot 36^{2023} - 2 \cdot 6^{2024} - 2025$.

1. 1
   Перепишем степени чисел через основание $6$: $1296 = 6^4$, $216 = 6^3$, $36 = 6^2$.$$N = 5\cdot 6^{8084} - 4\cdot 6^{6066} + 3\cdot 6^{4046} - 2\cdot 6^{2024} - 2025$$
2. 2
   Выполним вычитание и сложение по разрядам, переводя полученную запись в систему счисления с основанием $36$. При каждом переносе или заёме значение разряда приводится к диапазону от $0$ до $35$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт нулей в пятеричной записи

Значение арифметического выражения $4 \cdot 625^{1920} + 4 \cdot 125^{1930} - 4 \cdot 25^{1940} - 3 \cdot 5^{1950} - 1960$ записали в системе счисления с основанием $5$. Определите количество…

1. 1
   Заменяем основания степеней на степени числа $5$:$$625^{1920}=(5^4)^{1920}=5^{7680},\quad 125^{1930}=5^{5790},\quad 25^{1940}=5^{3880}$$
2. 2
   Получаем выражение, удобное для вычислений в пятеричной системе:$$N=4\cdot5^{7680}+4\cdot5^{5790}-4\cdot5^{3880}-3\cdot5^{1950}-1960$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Цифры в троичной записи

Значение арифметического выражения $9^{12} + 3^7 - 3$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

1. 1
   Представим число $9$ как степень числа $3$:$$9^{12} = (3^2)^{12} = 3^{24}$$
2. 2
   Тогда исходное выражение принимает вид:$$3^{24} + 3^7 - 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Цифры в записи по основанию 27

Определите количество цифр с числовым значением, превышающим 9, в 27-ричной записи числа, заданного выражением…

1. 1
   Перепишем основания степеней через степени тройки:$$729=3^6,\quad 243=3^5,\quad 81=3^4,\quad 27=3^3,\quad 9=3^2$$
2. 2
   Тогда исходное число принимает вид:$$N=2\cdot3^{12084}+2\cdot3^{10080}-2\cdot3^{8072}+2\cdot3^{6060}-2\cdot3^{4044}-2024$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт цифр в системе счисления

Значение арифметического выражения $49^{14} + 7^{42} - 49$ записали в системе счисления с основанием $7$. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

1. 1
   Представим все слагаемые как степени числа $7$:$$49^{14} + 7^{42} - 49 = 7^{28} + 7^{42} - 7^2$$
2. 2
   В записи числа $7^{42} + 7^{28}$ в системе счисления с основанием $7$ стоят единицы в разрядах с номерами $42$ и $28$. При вычитании $7^2$ выполняется заимствование из разряда $28$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Системы счисления и делимость

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 22: $98x79641_{22} + 36x14_{22} + 73x4_{22}$. В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита…

1. 1
   Разложим числа по степеням основания $22$ и приведём выражение к десятичному виду.$$98x79641_{22}+36x14_{22}+73x4_{22}=23358841515+5154138x$$
2. 2
   Цифра $x$ может принимать значения от $0$ до $21$. Проверка делимости полученного выражения на $21$ показывает, что наибольшее подходящее значение — $x=18$.$$23358841515+5154138\cdot18=23451615999$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сложение чисел в системах счисления

Вычислите сумму чисел $x$ и $y$, при $x = 1\mathrm{D}_{16}$, $y = 72_8$. Результат представьте в двоичной системе счисления.

1. 1
   Переведём число $1\mathrm{D}_{16}$ в десятичную систему:$$1\mathrm{D}_{16}=1\cdot16+13=29$$
2. 2
   Переведём число $72_8$ в десятичную систему:$$72_8=7\cdot8+2=58$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Нули в троичной записи

Значение арифметического выражения $3^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в…

1. 1
   Поскольку $x\leq 2030<3^7$, при вычитании $x$ из $3^{100}$ старшие разряды результата становятся равными 2. Поэтому количество нулей определяется семью младшими разрядами.$$3^{100}-x=\underbrace{222\ldots222}_{93\ \text{цифры}}(3^7-x)_3$$
2. 2
   Обозначим $y=3^7-x=2187-x$. Для максимального $x$ нужно найти наименьшее подходящее значение $y$ при условии $x\leq2030$, то есть $y\geq157$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Нули в пятеричной записи

Значение арифметического выражения $5^{150} + 5^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 5-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при…

1. 1
   Так как $x \leq 2030 < 5^{100}$, перепишем выражение:$$5^{150} + 5^{100} - x = 5^{150} + (5^{100} - x)$$
2. 2
   В пятеричной записи числа $5^{150} + (5^{100} - x)$ между единицами в разрядах $150$ и $100$ находятся разряды с номерами от 100 до 149. Они дают ровно 50 нулей.

Ещё 3 шага — в полном решении

Количество единиц в двоичной записи

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения $4^8 + 2^8 - 8$?

1. 1
   Представим первую степень через степень двойки:$$4^8 = (2^2)^8 = 2^{16}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$2^{16} + 2^8 - 8 = 65536 + 256 - 8 = 65784$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт нулей в восьмеричной записи

Значение арифметического выражения $7\cdot512^{120}-6\cdot64^{100}+8^{210}-255$ записали в системе счисления с основанием $8$. Сколько цифр $0$ содержится в этой записи?

1. 1
   Выразим основания степеней через число $8$: $512=8^3$, $64=8^2$.$$7\cdot512^{120}-6\cdot64^{100}+8^{210}-255=7\cdot8^{360}-6\cdot8^{200}+8^{210}-255$$
2. 2
   Запишем слагаемые по разрядам восьмеричной системы. Степени числа $8$ определяют позиции единичных разрядов, а вычитание $6\cdot8^{200}$ и числа $255$ приводит к заимствованиям между разрядами.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Делимость числа в системе счисления

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 22: $27x98876_{22} + 26x51_{22} + 711x5_{22}$. В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита…

1. 1
   Представим числа в десятичной системе, используя разрядные коэффициенты основания 22.$$27x98876_{22}=2\cdot22^6+7\cdot22^5+x\cdot22^4+9\cdot22^3+8\cdot22^2+8\cdot22+6$$
2. 2
   Аналогично раскладываем два остальных слагаемых и объединяем постоянную часть и коэффициент при $x$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Цифры в записи числа

Значение арифметического выражения $2^{56} + 5^4 - 25$ записали в системе счисления с основанием $5$. Сколько цифр «4» содержится в этой записи?

1. 1
   Вычислим значение арифметического выражения в десятичной системе:$$2^{56} + 5^4 - 25 = 72057594037928536$$
2. 2
   Переведём полученное число в систему счисления с основанием $5$ последовательным делением на $5$. Запись числа имеет вид:$$72057594037928536_{10} = 1101024213112003410203121_5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт цифр в троичной записи

Значение арифметического выражения $9^{12} + 3^8 - 3$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

1. 1
   Преобразуем первую степень:$$9^{12} = (3^2)^{12} = 3^{24}$$
2. 2
   Представим вторую часть выражения в троичной системе. Число $3^8 - 1$ состоит из восьми цифр «2»:$$3^8 - 1 = (22222222)_3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Нули в записи по основанию 64

Значение арифметического выражения $6 \cdot 512^{195} + 7 \cdot 64^{196} + 3 \cdot 8^{198} + 5 \cdot 8^{193} + 200$ записали в системе счисления с основанием $64$. Сколько значащих нулей содержится…

1. 1
   Преобразуем первое слагаемое:$$6 \cdot 512^{195} = 6 \cdot (8 \cdot 64)^{195} = 6 \cdot 8^{195} \cdot 64^{195} = 48 \cdot 64^{292}$$
2. 2
   Преобразуем слагаемые со степенями числа $8$ и число $200$:$$3 \cdot 8^{198} = 3 \cdot 64^{99},\quad 5 \cdot 8^{193} = 40 \cdot 64^{96},\quad 200 = 3 \cdot 64 + 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Цифры в 27-ричной записи

Значение арифметического выражения $2 \cdot 2187^{567} + 729^{566} - 2 \cdot 243^{565} + 81^{564} - 2 \cdot 27^{563} - 6561$ записали в системе счисления с основанием $27$. Определите в $27$-ричной…

1. 1
   Представим основания степенями числа $3$ и раскроем степени:$$2187=3^7,\quad 729=3^6,\quad 243=3^5,\quad 81=3^4,\quad 27=3^3,\quad 6561=3^8$$
2. 2
   Преобразуем каждую степень в степень числа $27$. Для двух слагаемых появляются коэффициенты, не кратные $3$:$$2\cdot 2187^{567}+729^{566}-2\cdot243^{565}+81^{564}-2\cdot27^{563}-6561=2\cdot27^{1323}+27^{1132}-18\cdot27^{941}+27^{752}-2\cdot27^{563}-9\cdot27^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Три нуля в троичной записи

Значение арифметического выражения $3^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в…

1. 1
   Переведём числа, начиная с наибольших допустимых значений $x$, в троичную систему и выполним вычитание из $3^{100}=1000\ldots000_3$.
2. 2
   Для $x=2030$ получаем $2030=22100012_3$. В записи числа $3^{100}-2030$ содержатся только два нуля.

Ещё 3 шага — в полном решении

Числа с двоичным окончанием

Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101.

1. 1
   Окончание двоичной записи на $101$ означает, что последние три разряда числа равны $101_2 = 5_{10}$. Поэтому число имеет вид $8k+5$.$$n = 8k + 5$$
2. 2
   Перебираем неотрицательные значения $k$, при которых число не превосходит 25: при $k=0$ получаем 5, при $k=1$ — 13, при $k=2$ — 21. Следующее число равно 29 и не подходит.$$5,\ 13,\ 21,\ 29 > 25$$

Подсчёт цифр в системе счисления

Значение арифметического выражения $16^8 \times 4^{20} - 4^5 - 64$ записали в системе счисления с основанием $4$. Сколько цифр $3$ содержится в этой записи?

1. 1
   Перепишем выражение, используя степени числа $4$:$$16^8 \times 4^{20} - 4^5 - 64 = 4^{16} \times 4^{20} - 4^5 - 4^3 = 4^{36} - 4^5 - 4^3$$
2. 2
   В системе счисления с основанием $4$ число $4^{36}-1$ записывается как $36$ цифр $3$: от старшего разряда до младшего идут цифры $3$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Количество цифр 6 в записи

Значение арифметического выражения $49^{16} + 7^{48} - 49$ записали в системе счисления с основанием $7$. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

1. 1
   Перепишем выражение в виде степеней числа $7$:$$49^{16} + 7^{48} - 49 = 7^{32} + 7^{48} - 7^2$$
2. 2
   При вычитании $7^2$ из $7^{32}$ происходит заимствование: в разрядах от $7^2$ до $7^{31}$ появляются цифры $6$, а в разряде $7^{32}$ получается цифра $0$.$$7^{32} - 7^2 = 6\cdot 7^2 + 6\cdot 7^3 + \dots + 6\cdot 7^{31}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении