Решение: Подсчёт цифр в системе счисления
Значение арифметического выражения $16^8 \times 4^{20} - 4^5 - 64$ записали в системе счисления с основанием $4$. Сколько цифр $3$ содержится в этой записи?
Решение по шагам
5 шаговПерепишем выражение, используя степени числа $4$:
$$16^8 \times 4^{20} - 4^5 - 64 = 4^{16} \times 4^{20} - 4^5 - 4^3 = 4^{36} - 4^5 - 4^3$$В системе счисления с основанием $4$ число $4^{36}-1$ записывается как $36$ цифр $3$: от старшего разряда до младшего идут цифры $3$.
Представим исходное число так:
$$4^{36} - 4^5 - 4^3 = (4^{36}-1) - (4^5+4^3-1)$$В записи числа $4^5+4^3-1$ цифры в разрядах $0$, $1$, $2$ равны $3$, в разряде $3$ стоит $0$, в разряде $5$ — $1$. При вычитании из записи из одних цифр $3$ две цифры $3$ заменяются: в разряде $5$ появляется $2$, а в разрядах $0$, $1$, $2$ появляются нули. В разряде $3$ цифра $3$ сохраняется.
Из исходных $36$ цифр $3$ остаются цифры в разрядах $3$, $4$ и $6$–$35$. Всего это $2+30=32$ цифры.
Где здесь ошибаются
Не заменить $16^8$ на $4^{16}$.
Ошибочно считать, что в записи $4^{36}-1$ содержится $37$ цифр $3$.
Не учитывать заимствование при вычитании $4^5$ и $4^3$.