Решение: Нули в пятеричной записи
Значение арифметического выражения $5^{150} + 5^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 5-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в 5-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 50 нулей.
Решение по шагам
5 шаговТак как $x \leq 2030 < 5^{100}$, перепишем выражение:
$$5^{150} + 5^{100} - x = 5^{150} + (5^{100} - x)$$В пятеричной записи числа $5^{150} + (5^{100} - x)$ между единицами в разрядах $150$ и $100$ находятся разряды с номерами от 100 до 149. Они дают ровно 50 нулей.
Запишем $5^{100}-x$ через число $x-1$: его разряды от 0 до 99 получаются как дополнение цифр числа $x-1$ до 4. Поэтому дополнительный ноль появляется тогда и только тогда, когда соответствующая цифра числа $x-1$ равна 4.
Нужно найти наибольшее $x \leq 2030$, для которого в записи $x-1$ в системе счисления с основанием 5 нет цифры 4. Имеем $2029_{10}=31104_5$, поэтому для $x=2030$ число $x-1=2029$ содержит цифру 4.
Для $x=2029$ получаем $x-1=2028_{10}=31103_5$; цифры 4 в записи нет. Следовательно, дополнительных нулей нет, и всего получается ровно 50 нулей.
Где здесь ошибаются
Считать нули только в записи числа $x$.
Забыть, что при вычитании из $5^{100}$ используются цифры числа $x-1$.
Проверять условие в десятичной записи вместо пятеричной.