14
Решение: Количество цифр 2 в записи
ЕГЭ · Информатика · Задание 14 · Системы счисления
ПовышеннаяФИПИ152A01Короткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
Значение арифметического выражения $9^{23} + 3^{69} - 9$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Заменим число $9$ степенью тройки:
$$9^{23} + 3^{69} - 9 = (3^2)^{23} + 3^{69} - 3^2 = 3^{46} + 3^{69} - 3^2$$2
Старший член $3^{69}$ добавляет единицу в разряд $3^{69}$ и не влияет на разряды от $3^2$ до $3^{45}$.
3
При вычитании $3^2$ из $3^{46}$ получаются цифры $2$ во всех разрядах от $3^2$ до $3^{45}$:
$$3^{46} - 3^2 = 2\cdot3^2 + 2\cdot3^3 + \dots + 2\cdot3^{45}$$Количество таких разрядов равно:
$$45 - 2 + 1 = 44$$Ответ
44
44
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают, что $9 = 3^2$, и считают выражение в десятичной системе.
Не учитывают, что после вычитания $3^2$ цифры $2$ появляются во всех разрядах от $3^2$ до $3^{45}.
Включают разряд $3^{46}$ или $3^{69}$ в количество цифр $2$.